Exercícios Resolvidos de Função Potencial

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 493-25.

Mostre que os valores da integral

A B z 2 d x + 2 y   d y + 2 x z   d z

Não depende do caminho tomado de A a B.

Passo 1

Como vimos na teoria, a independência do caminho é uma propriedade dos campos conservativos, pois para campos conservativos, com função potencial f :

A B F d r = f B - f ( A )

Ou seja, o valor da integral só depende dos pontos final e inicial da curva, como foi pedido na questão.

Então só precisamos verificar se o campo é mesmo conservativo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos o campo:

F = F 1 , F 2 , F 3 = z 2 , 2 y , 2 x z

Vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:

r o t   F = × F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

= 2 x z y - 2 y z i + z 2 z - 2 x z x j + 2 y x - z 2 y k

= 0

E como o campo está definido para todo o R 3 , nós vimos que essa condição é o suficiente para sabermos que o campo F é conservativo.

Pronto! F conservativo implica que a integral de linha não depende do caminho.

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