Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2017, Questão 2

Questão 2: Considere o campo

F = y e x y sin y z + 1 ,   x e x y sin y z + z e x y cos y z - y ,   y e x y cos y z - z

  1. Mostre que F é conservativo.
  2. Calcule γ   F d r onde γ t = cos t ,   1 + sin t , cos 2 t e t 0 , 3 π 2 .

Passo 1

Ok! Aqui devemos lembrar-nos da teoria, beleza? Se ele é conservativo então ele satisfaz F = ω . Mas quem é esse ômega que apareceu aí? :\

Esse ômega é a função potencial, e pela teoria o gradiente dela deve ser igual ao campo F , beleza?

ω x ,   ω y , ω z = y e x y sin y z + 1 ,   x e x y sin y z + z e x y cos y z - y ,   y e x y cos y z - z

Portanto a gente pode dizer que

I                 ω x = y e x y sin y z + 1                                                              

I I                 ω y = x e x y sin y z + z e x y cos y z - y

I I I                 ω z = y e x y cos y z - z                                                              

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o que a gente deve fazer agora é pegar a primeira I integrar com relação a x

ω =     y e x y sin y z + 1 d x + g ( y ,   z )

Note que aparece um g ( y , z ) aí, pois se derivarmos em relação a x ela some, então integramos e ela volta. Mas não se preocupe, pois no próximo passo a determinamos !

Integrando em x (portanto y e z são constantes)

ω = y sin y z e x y y + x   + g ( y ,   z )

ω = sin y z e x y + x   + g ( y ,   z )

Passo 3

Como eu disse, vamos agora determinar g ( y ,   z ) , e como podemos fazer isso?

Derivando ω com relação à y e depois comparando com o que temos em I I ...

ω y = sin y z e x y + x   + g ( y ,   z ) y

A derivada da soma é...

ω y = sin y z e x y y + x   y + g ( y ,   z ) y

Nessa primeira derivada, cuidado com a regra do produto...

ω y = sin y z y e x y + e x y y sin y z + g ( y ,   z ) y

ω y = z cos y z e x y + e x y x sin y z + g ( y ,   z ) y

Comparando agora com o que temos em ( I I ) do passo 3...

z cos y z e x y + e x y x sin y z + g ( y ,   z ) y = x e x y sin y z + z e x y cos y z - y

Cortando essas coisas iguais

g ( y ,   z ) y = - y

Integrando dos dois lados em relação a y ... g y ,   z = - y   d y + h z

Note que agora apareceu h z , pois se derivarmos em relação a y , ela desaparece.

g y , z = - y 2 2 + h z

Então até o momento a função potencial é...

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x   + g y ,   z  

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 + h z

Passo 4

Para determinar esse h z , vamos fazer semelhante ao que fizemos no anterior, ou seja, derivar a função potencial em relação à z e igualarmos a terceira condição...

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 + h z

ω z = sin y z e x y + x - y 2 2 + h z z

Derivando em relação a z ...

ω z = cos y z y e x y + h z z

Epa! derivada de uma só variável é...

ω z = cos y z y e x y + h ' z

Igualando a terceira...

I I I                 ω z = y e x y cos y z - z                                                              

cos y z y e x y + h ' z = y e x y cos y z - z

h ' z = - z

onde integrando...

h z = - z d z + c

h z = - z 2 2 + c

Então a função potencial é:

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 + h z

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c

Se o campo tem função potencial, então ele de fato é conservativo !

Passo 5

Pela teoria, se ω é uma função potencial para F , então

γ   F d r = ω B - ω ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. No nosso caso esses pontos são obtidos nos limites da curva, portanto o ponto A , é quando t = 0

γ t = cos t ,   1 + sin t , cos 2 t

A = γ 0 = cos 0 ,   1 + sin 0 , cos 0

A = ( 1 ,   1 ,   1 )

Logo

ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c

ω A = sin 1 e + 1 - 1 2 - 1 2 + c = sin 1 e + c

E quanto ao B , é quando t = 3 π 2

B = γ 3 π 2 = cos 3 π 2 ,   1 + sin 3 π 2 , cos 3 π

B = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

ω B = sin 0 e 0 + 0 + 0 - 1 2 + c = - 1 2 + c

Portanto a integral será...

C   F d r = ω B - ω A = - 1 2 + c - sin 1 e + c =

- 1 2 - e sin 1

Resposta

a )   ω x ,   y ,   z = sin y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c  

b )     - 1 2 - e sin 1                                                                                                          

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas