Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2018.2, Questão 3

Questão 3: Considere o campo F = 2 x y + 1 ,   x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2 ,   2 z y + 1 .

  1. Mostre que F é conservativo.
  2. Determine um potencial f para F (isto é, uma função escalar tal que F = f ).
  3. Encontre o ponto Q na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 tal que a integral de linha do campo F sobre qualquer caminho γ ligado a origem P = 0 ,   0 ,   0 a Q satisfaz

γ   F d r = 0

Passo 1

Item I)

Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para o nosso campo:

F = 2 x y + 1 ,   x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2 ,   2 z y + 1 .

Ele é formado por expressões que funcionam em todo o espaço x y z ! Então sim! O campo é simplesmente conexo em todo R 3 .

Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O último quesito é verificar se ele é irrotacional. Em termos de matemática no caso do campo F :

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y = 0      

No nosso caso, temos:

F = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = 2 x y + 1 ,   x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2 ,   2 z y + 1

Então, calculando cada uma dessas derivadas parciais...

r o t F = 2 z - 2 z ,   0 - 0 ,   2 x - 2 x =

0 ,   0 ,   0

Então de fato concluímos que o campo é conservativo!

Passo 3

Item II)

No caso devemos calcular o potencial do campo F . De acordo com a Teoria, f é uma função potencial de F se:

F = f  

2 x y + 1 ,   x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2 ,   2 z y + 1 = f x ,   f y , f z    

Por igualdade de vetores...

f x = 2 x y + 1         I

f y = x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2         I I

f z = 2 z y + 1             I I I

Então partiu resolver essas equações diferenciais!

Passo 4

Primeiro vamos resolver a equação I :

f x = 2 x y + 1          

f = 2 x y + 1   d x

Lembre-se de integrar considerando o y constante:

y + 1 x 2 + G y ,   z

Esse G y ,   z é uma constante de integração perante x , mas é uma função das variáveis que não foi integrada, afinal se derivarmos novamente em relação a x , ela desaparece, logo, na integração ela renasce das cinzas !

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação de modo análogo:

f y = x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2        

f = x 2 + 3 y 2 + 2 y + z 2   d y  

Integrando considerando tudo que não é y como constante...

x 2 y + y 3 + y 2 + z 2 y + H x ,   z

Novamente, apareceu esse H que é uma constante perante y , mas é uma função das variáveis que não foram integradas!

Passo 6

Por último, calculemos a terceira equação:

f z = 2 z y + 1      

f = 2 z y + 1   d z  

f = y + 1 z 2 + I x ,   y

Esse I é o mesmo motivo da H e da G anteriormente comentado.

Passo 7

Com essas três equações resolvidas chagamos ao seguinte resultado:

f = y x 2 + x 2 + G y ,   z f = x 2 y + y 3 + y 2 + z 2 y + H x ,   z f = y z 2 + z 2 + I x ,   y

O resultado mesmo vai ser a junção desses três em um só, da seguinte maneira:

  1. Primeiro devemos colocar cada um dos termos que se repetem uma única vez:
  2. f = y x 2 + y z 2 +

  3. Agora entra os termos que não se repetem:
  4. f = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2 +

  5. Por último, no lugar das funções G ,   H e I , colocamos uma constante real k ...

f = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2 + k

Como o problema nos pediu um potencial (e não uma família de potenciais) podemos adotar k = 0 e assim um potencial para F é:

f = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2

Passo 8

Item III)

De acordo com a teoria, dado um f potencial para F , podemos calcular uma integral de linha apenas com o ponto inicial P e um ponto final Q :

γ   F d r = f Q - f P

No caso

f x ,   y ,   z = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2  

f P = f 0 ,   0 ,   0 = 0

Então:

γ   F d r = f Q - f P = f Q

Para isso ser 0 , basta encontrarmos um ponto em que f Q = 0 , onde Q , pertence a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , logo:

f Q = f x ,   y ,   z = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2    

f Q = f x ,   y ,   z = y x 2 + y z 2 + y 3 + 1    

Colocando o y em evidência...

f Q = f x ,   y ,   z = y x 2 + z 2 + y 2 + 1    

f Q = f x ,   y ,   z = y 1 + 1             p a r a   f Q = 0        

y = - 1

Como

x 2 + y 2 + z 2 = 1         e         y = - 1        

x 2 + - 1 2 + z 2 = 1    

x 2 + 1 + z 2 = 1    

x 2 + z 2 = 0  

Isso só é verdade se x = 0 e z = 0 , portanto, o único ponto Q que satisfaz a condição pedida é...

Q = 0 ,   - 1 ,   0

Resposta

Item I) Domínio R 3 simplesmente conexo e campo irrotacional.

Item II)

f x ,   y ,   z = y x 2 + y z 2 + y 3 + x 2 + y 2 + z 2

Item III) Q = 0 ,   - 1 ,   0

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