Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P-SUB - 2017, Questão 2

Questão 2:

Seja

F x ,   y = cos x 2 + x 2 y 3 - y 3 - x ,   x 3 y 2 + ln 3 - x

  1. F é conservativo em x ,   y R 2 : x < 3 ? Justifique.
  2. Calcule γ   F d r , onde γ é a circunferência x - 1 2 + y 2 = 1 percorrida uma vez no sentido anti-horário.
  3. Calcule γ   F d r , onde γ é a parte da circunferência x - 2 2 + y + 1 2 = 1 tal que x 2 , percorrida de 2 ,   - 2 á 2 ,   0 .

Passo 1

a )

Bem, para verificarmos a resposta da primeira pergunta, o que devemos fazer é observar a Teoria que nos fala que se um campo F x ,   y é conservativo, então ele obedece:

Q x - P y = 0

Onde esse P   e   Q nada mais são que, no nosso caso...

F x ,   y = cos x 2 + x 2 y 3 - y 3 - x P ,   x 3 y 2 + ln 3 - x Q

Calculando essas derivadas parciais, portanto...

Q x = x 3 y 2 + ln 3 - x x = x 3 y 2 x + ln 3 - x x

Calculando essas derivadas com atenção na regra da cadeia...

Q x = 3 x 2 y 2 + 1 3 - x x 3 - x =

3 x 2 y 2 - 1 3 - x

Agora calculando a outra derivada Parcial...

P y = cos x 2 + x 2 y 3 - y 3 - x y = cos x 2 y + x 2 y 3 y - y 3 - x y

P y = 0 + 3 x 2 y 2 - 1 3 - x

Aplicando a subtração...

Q x - P y = 3 x 2 y 2 - 1 3 - x - 3 x 2 y 2 - 1 3 - x = 0

Olha que beleza! Deu zero, mas lembre-se: embora isso seja necessário, ainda não é o suficiente para provarmos que o campo é conservativo. Precisamos de mais uma condição...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos provar que o campo é simplesmente conexo onde estamos trabalhando, saca? Simplesmente conexo significa que no domínio considerado, o campo não pode ter problemas de definição, como uma divisão por zero, ou algo do tipo. Veja:

F x ,   y = cos x 2 + x 2 y 3 - y 3 - x ,   x 3 y 2 + ln 3 - x

Sabemos que o x não pode ser 3 , pois se fosse, teríamos uma divisão por 0 em y 3 - x . Além disso, o logaritmo...

ln 3 - x

exige que...

3 - x > 0      

- x > - 3      

x < 3

Tirando essas duas condições, não temos mais nenhum problema de definição.

Como o item a nos pede justamente para provar no intervalo onde x < 3 , então sim! O campo é conservativo nesse intervalo, pois além de ser simplesmente conexa, a subtração ali em cima das derivadas parciais foi zero !

Passo 3

b )

Queremos calcular a integral de linha desse campo vetorial F em cima da curva fechada:

x - 1 2 + y 2 = 1

(uma circunferência de raio 1 deslocada uma unidade a direita em x )...

Cara, antes de sair calculando essa integral de linha aí desembestado, pensa um pouco comigo:

Estamos calculando uma integral de linha em uma curva fechada que está no domínio simplesmente conexo do campo que é conservativo, logo sem fazer conta podemos falar que...

γ   F d r = 0

Sacou?

Passo 4

c )

Já é de suspeitar que o resultado dessa outra integral de linha agora em cima da semicircunferência

x - 2 2 + y + 1 2 = 1 ,             c o m               x 2

Não será o mesmo que o anterior, neh? Pois se não estaria muuuuito fácil. Bem, e o resultado não será justamente porque essa curva é aberta, veja:

É uma semicircunferência deslocada duas unidades a direita em x e uma unidade pra baixo em y ...

Com a orientação pedida, ou seja, do ponto 2 ,   - 2 ao 2 ,   0 ...

Então seu resultado não necessariamente será zero, pois ela não está fechada, mas... Como outra propriedade de um campo conservativo, a integral não depende do caminho, podemos calcular essa integral em cima dessa curva vermelha γ ...

γ   F d r

Pela reta verde γ 1 ...

γ   F d r = γ 1   F d r

Bora?

Passo 5

Agora não tem muito por onde escapar, temos que resolver a integral de forma direta, logo precisamos...

1º - Parametrizar a reta verde γ 1 .

Como ele é uma reta paralela ao eixo y passando por x = 2 , sua parametrização fica...

r 1 t = 2 ,   t

Onde y = t varia de - 2 a 0 .

2º - Trocar os termos do campo, pelos termos da parametrização.

F x ,   y = cos x 2 + x 2 y 3 - y 3 - x ,   x 3 y 2 + ln 3 - x    

F r 1 t = cos 4 + 4 t 3 - t ,   8 t 2 + ln 3 - 2 =                  

F r 1 t = cos 4 + 4 t 3 - t ,   8 t 2

3º - Calcular o termo d r .

d r = 2 ,   t ' d t = 0 ,   1 d t

γ   F d r = - 2 0 cos 4 + 4 t 3 - t ,   8 t 2 0 ,   1 d t =

γ   F d r = - 2 0 cos 4 + 4 t 3 - t ,   8 t 2 0 ,   1 d t =

γ   F d r = - 2 0 8 t 2 d t

Calculando...

- 2 0 8 t 2 d t = 8 t 3 3 - 2 0 =

- 8 - 2 3 3 = 64 3

Resposta

a )

C a m p o   c o n s e r v a t i v o

b )   0

c )   64 3

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