Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2018.1, Questão 5

Questão 5) Seja F x ,   y = a x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + b x y 2 + e y + 2

  1. Para que valores de a e b o campo vetorial F é conservativo?
  2. Para os valores encontrados no item 1 , determine um potencial f de F tal que f 0 ,   0 = 2018 .
  3. Seja a = 5 , b = 4 . Determinar

C   F d r

Onde C é a curva parametrizada por r t = cos t , sin t ,   t 0 ,   2 π .

Passo 1

a )

Ouvi conservativo??? Então a primeiríssima coisa que você tem que ver é se o campo funciona em todos os pontos do espaço. Em outras palavras, é verificar se ele é simplesmente conexo!

Pow! Olha para o nosso campo

F x ,   y = a x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + b x y 2 + e y + 2

Repare bem que ele é composto por polinômios e por exponenciais, ou seja, funciona pra qualquer ponto que a gente quiser! Sacou? Então ele é simplesmente conexo sim!

Mas a análise não acabou por aqui, neh? Bora para o último quesito...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o campo ser conservativo também, outra coisa que precisa acontecer é essa parada aqui ser verdadeira

F 2 x - F 1 y = 0

OBS: Esse termo do primeiro membro é aquela famosa subtração que utilizamos no Teorema de Green, se lembra? F 1 e F 2 são as componentes do campo...

F x ,   y = F 1 ,   F 2 = a x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + b x y 2 + e y + 2

Derivando...

F 2 x = x 2 x 3 + b x y 2 + e y + 2 = 6 x 2 + b y 2

F 1 y = y a x 2 y + y 3 + e x + 1 = a x 2 + 3 y 2

Substituindo...

F 2 x - F 1 y = 0                                       F 2 x - F 1 y =

6 x 2 + b y 2 - a x 2 - 3 y 2 = 0

Pow, veja que se a = 6 e b = 3 , não importa o valor de x e y que o resultado sempre é 0 , tornando o campo conservativo!

F x ,   y = 6 x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2

Passo 3

b )

Tá! Ele é conservativo, mas o que isso significa exatamente?

Significa que o campo possui uma função potencial f x ,   y   que, por definição, atende a equação:

F = f

Esse segundo termo, se você não se recorda, é a gradiente da função ômega definido como sendo o vetor de derivadas parciais...

f = f x , f y

Pela igualdade de função vetorial então temos que...

F = f                           6 x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2 = f x , f y

Por igualdade de vetor...

1 º )                   f x = 6 x 2 y + y 3 + e x + 1

      2 º )                   f y = 2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2

O que vamos fazer aqui agora, basicamente é ressorver essas equações diferenciais e tirar o valor de f (a função potencial )

Passo 4

Da primeira equação diferencial...

1 º )                   f x = 6 x 2 y + y 3 + e x + 1

Podemos, grosso modo, “passar” o d x pra lado de lá e integrar dos dois lados...

  f = 6 x 2 y + y 3 + e x + 1 x

Integrando...

    d f =     6 x 2 y + y 3 + e x + 1 d x

f =     6 x 2 y + y 3 + e x + 1 d x

Integrando com relação a x agora (tome y sendo uma constante)...

f = 6 y x 3 3 + y 3 x + e x + x + C y  

f = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + C y

Veja que aparece um C ( y ) ! Você pode pensar nela como uma constante de integração, mas como integramos em x e a função tem outra variável, a “constante” passa a depender dessa outra variável, saca? Se você ainda não estiver convencido, derive esse ômega com relação à x ! Você vai reparar que a C y some por depender somente de y !

Passo 5

Beleza, mas agora vamos resolver a segunda equação de modo análogo...

      2 º )                   f y = 2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2        

f = 2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2 y    

    d f =     2 x 3 + 3   x y 2 + e y + 2 d y  

(Agora, para integrar em y tome x como uma constante):

f = 2 x 3 y + 3 x y 3 3 + e y + 2 y + C x  

f = 2 x 3 y + x y 3 + e y + 2 y + C x

Agora apareceu C x pelo mesmo motivo de C y ali em cima.

Passo 6

Veja que nos dois últimos passos, encontramos duas funções diferentes...

1 º )                     f = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + C y    

2 º )                     f = 2 x 3 y + x y 3 + e y + 2 y + C x

A resposta verdadeira vai ser uma combinação das duas da seguinte forma:

  1. Toda termo igual, aparece uma só vez...
  2. f = 2 y x 3 + x y 3

  3. Todo termo diferente aparece também...
  4. f = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + e y + 2 y

  5. As funções C x e C y não coloca, mas no lugar dela, coloca uma constante k ...

f = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + e y + 2 y + k

Basicamente a gente já acabou, pois encontrou todas as funções potenciais de f . Aí você poderia perguntar: “Todas?! Mas eu só vejo uma ”. Bem, repare que k é uma constante e pode valer qualquer número real. Pra cada um eu tenho uma resposta diferente, saca?

Nesse caso, tem como de descobrir k , pois o problema disse que

f 0 ,   0 = 2018  

f = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + e y + 2 y + k          

f 0 ,   0 = 0 + 0 + e 0 + 0 + e 0 + 0 + k = 2018      

2 + k = 2018                   k = 2016

Logo, a função potencial pedida é...

f x ,   y = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + e y + 2 y + 2016

Passo 7

c )

Queremos agora calcular uma integral de linha

C   F d r

Onde o campo F não é mais o anterior, pois a = 5 e b = 4 são diferentes, logo o campo F será...

F x ,   y = 5 x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + 4 x y 2 + e y + 2

Isso é uma pena, pois esse campo não é conservativo já que mudou o a e o b ! Mas como ele deu a curva C já parametrizada

r t = cos t , sin t ,   t 0 ,   2 π

Podemos simplesmente substituir que a solução vai vir rápida, correto?

ERRADO! Poxa, o problema não ia ser tão bonzinho assim com a gente, neh? Veja que o campo tem exponencial e quando substituir os termos x e y pelos da parametrização, iam aparecer coisas bizarras como exponencial de seno...

e y = e sin t

Por isso, a ideia vai ser tentar escapar para o teorema de Green:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Passo 8

Pow, mas antes vamos calcular aquela subtração do teorema pra ver se vai valer a pena mesmo, neh, pois não queremos fazer conta à toa. Mas atenção, você poderia se confundir e falar que essa subtração é 0 , como vimos no passo 2, mas lembre-se que os campos são diferentes!!!

Sem mais delongas, bora pra conta...

F x ,   y = F 1 ,   F 2 = 5 x 2 y + y 3 + e x + 1 ,   2 x 3 + 4 x y 2 + e y + 2

F 2 x = x 2 x 3 + 4 x y 2 + e y + 2 = 6 x 2 + 4 y 2

F 1 y = y 5 x 2 y + y 3 + e x + 1 = 5 x 2 + 3 y 2

Subtraindo...

F 2 x - F 1 y = 6 x 2 + 4 y 2 - 5 x 2 - 3 y 2 =

x 2 + y 2

Bem, esse termo simplifica muito, então vamos sim utilizar Green !

Passo 9

Show! Mas para aplicar o teorema, temos antes que verificar as condições que ele nos exige:

  1. Uma curva C fechada delimitando a região D .
  2. A curva tem que estar orientada positivamente (girando no sentido anti-horário).
  3. Campo F sem singularidades.

Verificando...

Em 1 ) Sim, a curva é fechada! Pois se você perceber, a parametrização dela

r t = cos t , sin t ,   t 0 ,   2 π

É de uma circunferência de raio 1 e centrada na origem:

Em 2) O problema não nos fala nada quanto a orientação, onde a gente pode assumir que sim, a curva gira no sentido anti-horário:

Em 3) Já vimos que o campo não tem problemas em nenhum ponto, ou seja, ele não tem singularidades.

Passo 10

Ok! Com as condições sendo satisfeitas, podemos utilizar o teorema de Green para calcular a integral de linha...

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A =

D   x 2 + y 2   d A

Passo 11

Para resolver a integral dupla dentro de um círculo, ora, mudança de coordenadas para as polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

x 2 + y 2 = r 2

Não podemos deixar de lado os limites de r e θ , neh? Bem, mas isso é tranquilo olhando para o círculo novamente:

Veja que θ tem que dar uma volta completa:

0 θ 2 π

Enquanto o raio varia da origem até o raio máximo que é...

0 r 1

Show, gora é só trocar a integral dupla, não se esquecendo de multiplicar a função do integrando pelo Jacobiano...

D   x 2 + y 2   d A = 0 2 π 0 1 r 2 J   d r d θ =

0 2 π 0 1 r 3   d r d θ

Passo 12

Por fim é só matar a integral...

0 2 π 0 1 r 3   d r d θ = 0 2 π r 4 4 0 1 d θ =

0 2 π 1 4 d θ = 1 4   θ   0 2 π =

2 π 4 = π 2

Onde pelo teorema de Green, esse é o valor de integral de linha...

C   F d r = π 2

Resposta

a )         a = 6     e       b = 3

b )     f x ,   y = 2 y x 3 + x y 3 + e x + x + e y + 2 y + 2016

c )     π 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas