Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2012.2, Questão 2a

Resolva os itens abaixo:

Sem tentar achar um potencial, decida se o campo

F x , y , z = 2 x y z + z 2 - 2 y 2 + 1 , x 2 z - 4 x y , x 2 y + 2 x z - 2

Com domínio D = R 3 é ou não conservativo. Em caso afirmativo, calcule então um potencial.

Passo 1

Letra a)

Bom, para ver se um campo é conservativo sem encontrar um potencial para ele, precisamos verificar que o seu rotacional é nulo:

r o t F = ×   F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

r o t F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y

r o t F = x 2 - x 2 , 2 x y + 2 z - 2 x y - 2 z , 2 x z - 4 y - 2 x z - 4 y = ( 0,0 , 0 )

Então o campo é conservativo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

2 x y z + z 2 - 2 y 2 + 1 , x 2 z - 4 x y , x 2 y + 2 x z - 2 = f x ,   f y , f z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = 2 x y z + z 2 - 2 y 2 + 1 f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x + M ( y , z )

f y = x 2 z - 4 x y f x , y , z = x 2 y z - 2 x y 2 + P ( x , z )

f z = x 2 y + 2 x z - 2 f x , y , z = x 2 y z + x z 2 - 2 z + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = - 2 z

P x , z = x - 2 z + x z 2

Q x , y = x - 2 x y 2

O que nos dá

f x , y . z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z + k

Resposta

O campo é conservativo.

f x , y . z = x 2 y z + x z 2 - 2 x y 2 + x - 2 z + k

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