Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2014, Questão 3

Seja o campo

F x , y , z = a y z   s e n x y + s e n y z ,   b x z   s e n   x y + x z cos y z ,   c x y cos y z + cos x y

  1. Determine as constantes reais a , b e c de modo que r o t   F = 0 .
  2. Para as constantes determinadas no item (a), calcule γ   F . d r onde

γ = x , y , z ϵ   R x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   y = x ,   x 0 ,   z 0 }

Orientada de modo que o ponto inicial seja ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Letra a)

Precisamos encontrar as constantes a , b e c que façam o rotacional desse campo ser zero. Ou seja:

r o t F = ×   F = 0

Nós podemos calcular no braço o rotacional desse campo enorme:

F x , y , z = a y z   s e n x y + s e n y z ,   b x z   s e n   x y + x z cos y z ,   c x y cos y z + cos x y

E igualar ele a zero. Mas vamos pensar de forma diferente, para poupar trabalho. Pensa na defininção de campo conservativo. É o campo que tem rotacional igual a zero e que possui uma função potencial f tal que

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Nós podemos resolver o problema por aí. E isso ainda vai ser útil na letra b) da questão, você vai ver! Temos então o seguinte:

a y z   s e n x y + s e n y z ,   b x z   s e n   x y + x z cos y z ,   c x y cos y z + cos x y

= f x ,   f y ,   f z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = a y z   s e n x y + s e n y z f x , y , z = - a z cos x y + x   s e n y z + M ( y , z )

f y = b x z   s e n   x y + x z cos y z   f x , y , z = - b z cos x y + x s e n y z + P ( x , z )

f z = c x y cos y z + cos x y   f x , y , z = c x s e n y z + z cos ( x y ) + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

f x , y , z = z cos ( x y ) + x   s e n y z + k

- a z cos x y = - b z cos x y = z cos ( x y )

a = b = - 1

x   s e n y z = x   s e n y z = c x s e n y z

c = 1

Passo 3

Letra b)

Como o campo é conservativo e a integral independe do caminho, vamos usar a função potencial para calcular a letra b) da questão:

γ   F d r = f ( B ) - f ( A )

Nós já sabemos, pela questão, que o ponto inicial é ( 0,0 , 1 ) , mas e o final? Vamos tirar isso das outras informações que o enunciado deu:

γ = x , y , z ϵ   R x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   y = x ,   x 0 ,   z 0 }

Essa é a definição da curva onde é feita a integral de linha. Temos uma esfera e os planos x = y , x = 0 e y = 0 . Graficamente, é isso aqui:

A curva é dada pela interseção entre essa parte da esfera e o plano azul, um arco de circunferência, como podemos ver. Como o ponto inicial é o ( 0,0 , 1 ) , é o lá de cima, que fica no eixo z . O ponto final pertence ao plano x y , logo, o sentido da curva é “descendo” no arco. Viu?

Vamos achar ele então agora!

Substituindo x = y na equação da esfera, temos

x 2 + x 2 + z 2 = 1

2 x 2 + z 2 = 1

Agora vamos com calma, isso é a projeção da nossa curva no plano x z , como se estivéssemos olhando a curva de lado. Por isso que é uma elipse, não um circunferência.

Como sabemos que o nosso ponto pertence ao plano x y , sabemos que z = 0 , então vamos substituir isso na equação que acabamos de achar para encontrar o x do nosso ponto:

2 x 2 = 1

x = 2 2

Ótimo, agora só falta o y , né? Já sabemo que o z é zero. Como o plano é x = y , temos uma simetria, já dá pra sacar que: x = y = 2 2

Mas se você não percebeu isso, não temo problema, podemos tirar a coordenada y da própria equação da esfera, substituindo x e z que já temos nela:

2 2 2 + y 2 + 0 = 1

y 2 = 1 - 1 2 = 1 2

y = 2 2

Então, temos que o ponto final é o seguinte:

2 2 , 2 2 ,   0

Passo 4

Agora vamos calcular isso aí:

γ   F d r = f 2 2 , 2 2 ,   0 - f ( 0,0 , 1 )

Onde f é dada por:

f x , y , z = z cos ( x y ) + x   s e n y z

Logo:

γ   F . d r = 0 + 0 - 1 - 0 = - 1

Resposta

  1. a = b = - 1

    c = 1

- 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas