Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 3

Seja F x , y = P x , y i + Q ( x , y ) j um campo de vetores de classe C 1 no anel A = x , y R 2 : 4 < x 2 + y 2 < 9 .   Considere asseguintes afirmações:

  1. Se Q x x , y = P y x , y , para todo x , y A ,   então c P x , y d x + Q x , y d y = 0 para toda circunferência C A .
  2. Se F ( x , y ) é conservatiro em A , então Q x x , y = P y x , y para todo x , y A .
  3. Se C P x , y d x + Q x , y d y = 0 para toda circunferência C A com centro na origem, então F ( x , y ) é gradiente em A.

A(s) afirmação(ões) verdadeira(s) para todo F x , y = P x , y i + Q x , y j como acima é(são):

Passo 1

Analisando (i):

(i) Se Q x x , y = P y x , y , para todo x , y A ,   então c P x , y d x + Q x , y d y = 0 para toda circunferência C A .

Essa afirmação é falsa. Observe que se trabalharmos nessa situação com uma curva aberta, o resultado dessa integral de linha pode ser diferente de zero. Observa o teorema:

Uma vez que temos o rotacional igual a zero, temos a integral dupla igual a zero. Até ai ok. Mas não necessariamente temos c P x , y d x + Q x , y d y = 0 ,   uma vez que c 1 P x , y d x + Q x , y d y pode ser diferente de zero. (Onde C 1 é a curva utilizada para fechar a curva C .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando a segunda afirmação:

(ii) Se F ( x , y ) é conservatiro em A , então Q x x , y = P y x , y para todo x , y A .

Verdade! Se um campo é conservativo, temos que seu rotacional é igual a zero

.

r o t F = F 2 x - F 1 y = 0

Logo, se o campo é conservativo, sempre tereos F 2 x = F 1 y .

Passo 3

Analisando agora a terceira afirmativa:

(iii) Se C P x , y d x + Q x , y d y = 0 para toda circunferência C A com centro na origem, então F ( x , y ) é gradiente em A.

Só podemos afirmar que é gradiente se a integral sobre qualquer curva fechada der 0. Ele só fala das circunferências. Então essa alternativa está errada.

Resposta

a p e n a s   a   ( i i )

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