Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2010.2 - 6ª Vespertino, Questão 1

Seja F x , y = e - y - 2 x , - x e - y - s e n   y um campo vetorial. Calcule a integral de linha de F sobre a curva C dada pela parametrização σ t = t , tg t ,   0 t π / 4 .

Passo 1

Tentar resolver essa integral aqui pela definição parece impossível, né? Tem vários expoentes em y e a própria definição da curva já é difícil.

Como estamos trabalhando só no plano x y aqui, vamos ver se o campo é conservativo calculando F 2 x - F 1 y

F 2 x = x - x e - y - s e n   y = - e - y

F 1 y = y e - y - 2 x = - e - y

F 2 x - F 1 y = - e - y - - e - y = 0

Logo, o campo é conservativo! Podemos calcular essa integral de linha usando função potencial.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

C   F d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y

Temos então o seguinte:

e - y - 2 x , - x e - y - s e n   y   = f x ,   f y

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = e - y - 2 x

f x , y = x e - y - x 2 + M ( y )

f y = - x e - y - sen y

f x , y = x e - y + cos y + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = cos y

P x = - x 2

O que nos dá

f x , y = x e - y - x 2 + cos y + k

Passo 3

Como o problema define a curva assim:

σ t = t , t g   t ,   0 t π / 4

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 0,0 )

Para B , temos t = π / 4 :

B = π 4 , 1

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f x , y = x e - y - x 2 + cos y + k

f 0,0 = 0 - 0 + cos 0 + k = 1 + k

f π 4 , 1 = π 4 e - π 2 16 + cos 1 + k

Logo,

C   F . d r = f B - f ( A )

C   F . d r = π 4 e - π 2 16 + cos 1 + k - 1 - k = π 4 e - π 2 16 + cos 1 - 1

Resposta

π 4 e - π 2 16 + cos 1 - 1

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