Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 44

Seja o campo vetorial F = 3 y z 2 - 2 x e z i + 3 x z 2 + cos y j + 6 x y z - x 2 e z k

  1. F é conservativo? Por quê?
  2. Calcule C F d r , se C é a curva descrita por r t = t i + π 2 t 3 j + t - 1 t - 2 k , 0 t 1
  3. Calcule C F d r , onde C é a fronteira do plano x + y + z = 2 , que fica no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

a )

Vamos começar vendo se esse cara é conservativo, para ele ser conservativo devemos achar o rotacional dele

r o t F = i j k x y z 3 y z 2 - 2 x e z 3 x z 2 + cos y 6 x y z - x 2 e z

r o t F = 6 x z i + 6 y z - 2 x e z j + 3 z 2 k - 3 z 2 k - 6 y z - 2 x e z j - 6 x z i

Juntando isso tudo vamos ter

r o t F = 0,0 , 0

Então esse campo é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como o campo é conservativo vamos achar a função potencial, ou seja, a função V onde

V = F

Assim vamos ter

V x = 3 y z 2 - 2 x e z

V = 3 y z 2 - 2 x e z x = 3 x y z 2 - 2 x 2 2 e z + A y , z

V = 3 x y z 2 - x 2 e z + A y , z

Além disso, também temos

V y = 3 x z 2 + cos y

V = 3 x z 2 + cos y y = 3 x y z 2 + sen y + B x , z

Além disso, também temos

V z = 6 x y z - x 2 e z

V = 6 x y z - x 2 e z z = 6 x y z 2 2 - x 2 e z + C x , y

V = 3 x y z 2 - x 2 e z + C x , y

Vamos comparar as três funções agora

3 x y z 2 - x 2 e z + A y , z = 3 x y z 2 + sen y + B x , z = 3 x y z 2 - x 2 e z + C x , y

Se olharmos com calma vamos ver que a função potencial vai ficar

V = 3 x y z 2 - x 2 e z + sen y + K

Passo 3

Agora que temos a função potencial vamos ver os pontos de início e fim dessa curva, ela começa com t = 0

r 0 = 0 i + π 2 0 3 j + 0 - 1 0 - 2 k = 2 k

Então começa no ponto 0,0 , 2

E termina em t = 1

r 1 = 1 i + π 2 1 3 j + 1 - 1 1 - 2 k

r 1 = i + π 2 j

E termina no ponto 1 , π 2 , 0

Vamos ter

C F d r = V 1 , π 2 , 0 - V 0,0 , 2

C F d r = 3 1 π 2 0 2 - 1 2 e 0 + sen π 2 + K - 3 0 0 2 2 - 0 2 e 2 + sen 0 + K

C F d r = 0 - 1 + 1 + K - 0 - 0 + 0 + K

C F d r = K - K

C F d r = 0

Passo 4

c )

Aqui não precisamos nem fazer contas, maroto isso né? Repara que a curva C é fechada, e a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada vai ser sempre 0

C F d r = 0

Resposta

  1. Sim
  2. 0
  3. 0

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