Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.1, Questão 2a

Seja F : R 2 R 2 o campo vetorial dado por

F x , y = - y 2 e - x i + 2 y e - x j

  1. Sem calcular funções potenciais, justifique que F é um campo conservativo
  2. Encontre a família de funções potenciais para F .

Passo 1

a 1 )

A primeira coisa a perceber é que

F x , y = - y 2 e - x , 2 y e - x

Para termos uma função potencial devemos ter

F 2 x - F 1 y = 0

Vamos achar essas derivadas das componentes da F x , y

F 2 x = 2 y - 1 e - x = - 2 y e - x

F 1 y = - 2 y e - x

Substituindo na fórmula vamos ter

- 2 y e - x - - 2 y e - x = 0

Como deu 0 vamos ter F sendo uma função potencial

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a 2 )

Vamos calcular a função potencial de F , vamos ter

F 1 = f x f = F 1 d x

f = - y 2 e - x d x = - y 2 e - x d x = - y 2 - 1 e - x + A y = y 2 e - x + A y

Temos também que

F 2 = f y f = F 2 d y

f = 2 y e - x d y = e - x 2 y d x = e - x 2 y 2 2 + B x = y 2 e - x + B x

Vamos ter que

y 2 e - x + A y = y 2 e - x + B x

A y = B x

Então a única forma de termos duas funções assim iguais é se ambas forem constantes, isso porque A só depende de y e B só depende de x .

A função potencial vai ficar

f = y 2 e - x + C

Resposta

  1. f = y 2 e - x + C

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