Seja F : R 2 → R 2 o campo vetorial dado por

F x , y = - y 2 e - x i + 2 y e - x j

  1. Sem calcular funções potenciais, justifique que F é um campo conservativo
  2. Encontre a família de funções potenciais para F .

Passo 1

a 1 )

A primeira coisa a perceber é que

F x , y = - y 2 e - x , 2 y e - x

Para termos uma função potencial devemos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos achar essas derivadas das componentes da F x , y

∂ F 2 ∂ x = 2 y ∙ - 1 e - x = - 2 y e - x

∂ F 1 ∂ y = - 2 y e - x

Substituindo na fórmula vamos ter

- 2 y e - x - - 2 y e - x = 0

Como deu 0 vamos ter F sendo uma função potencial

Passo 2

a 2 )

Vamos calcular a função potencial de F , vamos ter

F 1 = ∂ f ∂ x → f = ∫ F 1 d x

f = ∫ - y 2 e - x d x = - y 2 ∫ e - x d x = - y 2 - 1 e - x + A y = y 2 e - x + A y

Temos também que

F 2 = ∂ f ∂ y → f = ∫ F 2 d y

f = ∫ 2 y e - x d y = e - x ∫ 2 y d x = e - x 2 y 2 2 + B x = y 2 e - x + B x

Vamos ter que

y 2 e - x + A y = y 2 e - x + B x

A y = B x

Então a única forma de termos duas funções assim iguais é se ambas forem constantes, isso porque A só depende de y e B só depende de x .

A função potencial vai ficar

f = y 2 e - x + C

Resposta

  1. f = y 2 e - x + C

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