Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 30

Seja F = P , Q = cos x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln 2 - x

  1. F é conservativo? Por quê?
  2. Calcule C F d r , C : 1 2 + 1 2 cos t , 1 2 sen t ,   0 t 2 π
  3. Calcule C F d r , C : x - 1 2 + y 2 = 1 ,   x 1 , orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Letra a) Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

F 2 x - F 1 y

Nesse exercício ele fez F 1 = P e F 2 = Q , mas as contas são as mesmas

F 2 x = x x 3 y 2 + ln 2 - x = 3 x 2 y 2 + - 1 2 - x = 3 x 2 y 2 - 1 2 - x

F 1 y = y cos x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x = 0 + 3 x 2 y 2 - 1 2 - x

Vamos ter

F 2 x - F 1 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, essa é uma condição necessária, mas não suficiente! A outra condição para termos algo suficiente para falar que esse campo de fato é conservativo é um domínio simplesmente conexo.

Em outras palavras, é um domínio que não tenha problema de se criar curvas fechadas, pois qualquer ponto do interior dessa curva o campo funciona (é contínuo ):

F = P , Q = cos x 2 + x 2 y 3 - y 2 - x , x 3 y 2 + ln 2 - x

O campo F como pode ver, tem um problema quando x 2 , pois o ln   não existiria nessas condições, mas em qualquer outro ponto do lado esquerdo, funcionaria.

Então nesse domínio ela é conservativa, pois aquela subtração de derivadas zerou e estamos em um domínio simplesmente conexo, sacou ?

Passo 3

Repara que temos aquela função cos x 2 , e para achar a função potencial devemos integrar essa parada, mas sinceramente a integral disso não é nada simples nem fácil de fazer, eu mesmo não faço ideia como resolver.

Então vamos ignorar a função potencial por enquanto, vamos usar as propriedades de campos conservativos para prosseguir com os cálculos:

1º - propriedade nos fala que se f é uma função potencial de um campo F , então

C F d r = f A - f B

Onde A e B são os pontos iniciais e finais da curva!

2º - O caminho não importa, apenas esses dois pontos mesmo!

Passo 4

Letra b) Repara que o ponto inicial dessa parada vai ser em t = 0 , esse ponto vai ser

1 2 + 1 2 cos 0 , 1 2 sen 0 = 1 2 + 1 2 1 , 1 2 0 = 1 2 + 1 2 , 0 = 1,0

E o ponto final vai ser em t = 2 π , esse ponto vai ser

1 2 + 1 2 cos 2 π , 1 2 sen 2 π = 1 2 + 1 2 1 , 1 2 0 = 1 2 + 1 2 , 0 = 1,0

Que é o mesmo ponto, então a integral de linha nessa curva vai ser 0 , isso porque a integral de linha vai ficar, com f sendo a função potencial

C F d r = f 1,0 - f 1,0 = 0

Passo 5

Letra C) Vamos começar entendendo os pontos que o problema quer: ele deu uma circunferência com centro em 1,0 e raio 1 . Ele quer que a parada tenha x 1 . Isso nos diz que a circunferência vai ser a “banda” da direita. Vai ficar algo assim

Ele vai de 1,1 até 1 , - 1 .

Lembra das propriedades de campos conservativos? O caminho não importa, então vamos pegar uma reta que vai direto de um ponto ao outro, a sua parametrização vai ficar

σ t = 1 , - t

Com t - 1,1

Passo 6

Precisamos fazer agora σ '

σ ' t = 0 , - 1

Passo 7

A integral de linha vai ficar

C F d r = - 1 1 cos 1 2 + 1 2 - t 3 - - t 2 - 1 , 1 3 - t 2 + ln 2 - 1 0 , - 1 d t

- 1 1 cos 1 - t 3 + t 1 , t 2 + ln 1 0 , - 1 d t = - 1 1 cos 1 - t 3 + t , t 2 + 0 0 , - 1 d t

- 1 1 - t 2 d t = - t 3 3 t = - 1 1 = - 1 3 3 - - - 1 3 3 = - 1 3 3 - - - 1 3

- 1 3 - 1 3 = - 1 3 - 1 3 = - 2 3

Resposta

  1. Sim, é conservativo.
  2. 0
  3. - 2 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas