Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2015, Questão 1b

Seja F x , y = y 2 - 2 x y , 2 y y 2 + 1 - x 2 + 2 x y .

  1. F é conservativo? Justifique sua resposta.
  2. Calcule α   F d r , para α a curva dada por α t = t 3 - t , e t 2 - 1 ,   0 t 1 .

Passo 1

Item I

Bom, a gente vai começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo F 2 x - F 1 y porque só temos 2 coordenadas. Temos o seguinte:

F 2 x - F 1 y = - 2 x + 2 y - 2 y - 2 x = 0

Como não temos nenhuma singularidade na expressão do campo e seu rotacional é nulo, podemos dizer que ele é conservativo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Item II

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

α   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva α é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

y 2 - 2 x y , 2 y y 2 + 1 - x 2 + 2 x y = f x ,   f y

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = y 2 - 2 x y f x , y = x y 2 - x 2 y + M ( y )

f y = 2 y y 2 + 1 - x 2 + 2 x y   f x , y = ln y 2 + 1 - x 2 y + x y 2 + P ( x )

Obs:

0 x 2 y y 2 + 1 d x = 0 y 2 + 1 d u u = ln ( y 2 + 1 )

Comparando as equações, vemos que:

M y = ln y 2 + 1

P x = 0

O que nos dá

f x , y = ln y 2 + 1 - x 2 y + x y 2 + k

Passo 3

Como o problema define a curva assim:

α t = t 3 - t , e t 2 - 1 ,   0 t 1

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 0,0 )

Para B , temos t = 1 :

B = 0 , e - 1

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f x , y = ln y 2 + 1 - x 2 y + x y 2 + k

f 0,0 = k

f 0 , e - 1 = 1 + k

Logo,

α   F . d r = f B - f ( A )

α   F . d r = 1 + k - k = 1

Resposta

  1. Conservativo.
  2. 1

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