Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2016.1, Questão 4

Seja C a curva aberta dada pela interseção das superfícies

x 2 + 4 y 2 - 4 = 0       e       z = x 2 + y 2 - 2 y + 1

Com y 0 . Calcule

C x   d x + y   d y + e z 2 d z

Especificando a orientação escolhida.

Passo 1

Bem, se formos tentar entender essa curva, primeiro temos um cilindro elíptico:

x 2 + 4 y 2 - 4 = 0 x 2 4 + y 2 = 1

E um paraboloide:

z = x 2 + y 2 - 2 y + 1 z = x 2 + y - 1 2

A interseção das duas superfícies vai ser a própria equação do cilindro elíptico com z dado pela equação do paraboloide!

Então se projetarmos essa interseção no plano x y , ou seja, considerarmos z = 0 , ficamos com:

x 2 4 + y 2 = 1

Parametrizando:

σ t = ( 2 cos t , sen t )

E a coordenada z vai ser dada pelo parabolóide, então vamos ter:

C :   σ t = ( 2 cos t , sen t , 4 cos 2 t + sen t - 1 2 )

Com 0 t π porque queremos só a parte de y positivo da curva.

Bem, só com isso já da pra ver que seria algo meio bizarro de calcular pela definição, ne? Imagina jogar isso aí naquele e z 2 ... Sem chance. Mas calma que temos outras estratégias pra resolver isso aí!

Se testarmos o rotacional desse campo aí, vamos ter:

rot F = i j k x y z x y e z 2 = 0,0 , 0 = 0

E como o campo é definido para todo o R 3 , então podemos dizer que o campo é conservativo! Opa, já é um avanço!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para campos conservativos, nós costumamos achar funções potenciais que aí não tinhamos que fazer nenhuma integral de linha, ne?

O problema desse caso é que aquele termos e z 2 é impossível de integrar pra acharmos a função potencial, então nem isso podemos fazer...

Mas calma que aqui podemos usar outra propriedade dos campos conservativos: a independência do caminho!

Bem antes de tudo, podemos ver que a curva vai do ponto:

σ 0 = 2 cos 0 , sen 0 , 4 cos 2 0 + sen 0 - 1 2 = 2 ,   0 ,   5

Ao ponto:

σ π = 2 cos π , sen π , 4 cos 2 π + sen π - 1 2 = - 2 ,   0 ,   5

O que é muito bom, porque uma simples reta que leve do ponto 2 ,   0 ,   5 ao ponto - 2 ,   0 ,   5 já resolve nosso problema! Então vamos ter:

γ : σ t = - t , 0,5 ,   - 2 t 2

E, pela propriedade do campo conservativo:

C F d r = γ F d r

E é só calcularmos essa nova integral aí, que deve ser bem mais fácil, né?

Passo 3

Vamos calcular a integral pela definição mesmo, então temos a fórmula:

C F d r = a b F x t , y t , z t σ ' t d t

Já temos a parametrização, então é só falta calcular o vetor tangente:

σ ' t = d x d t , d y d t , d z d t = - 1,0 , 0

O que é bem tranquilo e simplifica muito as nossas contas, vamos ver!

Passo 4

Substituindo tudo que temos na fórmula, vamos ficar com:

- 2 2 - t , 0 , e 5 2 - 1,0 , 0 d t = - 2 2 t d t

t 2 2 - 2 2 = 0

Po, eles tão de sacanagem, né? Haha

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