Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2016.1, Questão 3

Seja C uma curva parametrizada por σ t : 1,2 R 2 , com

σ t = 2 - t e t - 1 , sen π t

Calcule a integral de linha

C 3 x 2 cos e y + 4 x + y d x + 4 x - x 3 e y sen e y d y

Passo 1

Bem, essa integral parece impossível de se calcular pela definição, porque além do campo não ser nada trivial, a curva foi uma das mais malucas que eu já vi... Então vamos rezar pra esse campo ser conservativo, senão ferrou...

Vamos começar testando o rotacional do campo, que em duas dimensões simplesmente temos que ver se:

F 2 x - F 1 y = 0 F 2 x = F 1 y

Nesse caso, temos:

F 2 x = 4 x - x 3 e y sen e y x = 4 - 3 x 2 e y sen e y

F 1 y = 3 x 2 cos e y + 4 x + y y = - 3 x 2 e y sen e y + 4

Além disso, o campo está definido em todo o R 2 ! Então, o campo é realmente conservativo, o que significa que não precisamos calcular essa integral pela definição, pelo menos isso... haha Mas vamos tentar encontrar uma função potencial, então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembrando que nossa função tem que ser tal que: F x , y = f x , y

Então, primeiro vemos que:

F 1 = f x f ( x , y ) = F 1 d x

f x , y = 3 x 2 cos e y + 4 x + y d x = x 3 cos e y + 2 x 2 + 4 x y + g 1 ( y )

E também:

F 2 = f y f x , y = F 2 d y

f x , y = 4 x - x 3 e y sen e y d y = 4 x y + x 3 cos e y + g 2 ( x )

Se igualarmos os dois, temos que:

x 3 cos e y + 2 x 2 + 4 x y + g 1 y = 4 x y + x 3 cos e y + g 2 x

g 1 y = 0                   g 2 x = 2 x 2

Então encontramos nossa função potencial:

f x , y = x 3 cos e y + 2 x 2 + 4 x y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos inicial e final da curva. Como temos 1 t 2 , então:

A = σ 1 = 2 - 1 e 1 - 1 , sen π 1 = 1 ,   0

B = σ 2 = 2 - 2 e 2 - 1 , sen π 2 = 0 ,   1

E agora já podemos calcular nossa integral!

Passo 4

Sabemos que pela função potencial:

C F d r = f B - f A

0 3 cos e 1 + 2 0 2 + 4 0 1 - 1 3 cos e 0 + 2 1 2 + 4 1 0

- cos 1 + 2 = - cos 1 - 2

Pronto, bem mais tranquilo que calcular aquela integral maluca lá, né?

Resposta

- cos 1 - 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas