Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2012.1, Questão 2

Seja:

F x , y , z = ( y 2 + 2 b x z , a x y + b y z , b x 2 + y 2 )

Determine as constantes a e b de modo que F seja um campo conservativo.

Usando os valores encontrados no item anterior, calcule:

C   F d r

Onde C é a curva parametrizada por: σ t = t + cos π t , 2 t + s e n π t , t

t 0,1

Passo 1

O campo é de classe C em todo R 3 . Portanto, basta que r o t F = ( 0,0 , 0 ) para que o campo seja conservativo. Derivando o campo obtemos que r o t F = ( 2 y - b y , 0 , a y - 2 y ) . Concluímos que a = b = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O ponto inicial da curva C é:

σ 0 = ( 1,0 , 0 )

E o ponto final é

σ 1 = ( 0,2 , 1 )

O campo vetorial a ser considerado é F x , y , z = ( y 2 + 4 x z , 2 x y + 2 y z , 2 x 2 + y 2 ) . Integrando as funções coordenadas do campo e igualando à função potencial:

V x = y 2 + 4 x z V = y 2 x + 2 x 2 z + A ( y , z )

V y = 2 x y + 2 y z V = x y 2 + z y 2 + B ( x , z )

V z = 2 x 2 + y 2 V = 2 x 2 z + y 2 z + B ( x , y )

Fazendo com que sejam todas iguais estas linhas, obtemos que a função potencial é:

V x , y , z = x y 2 + 2 x 2 z + y 2 z

A integral pedida então é:

C   F d r = V 0,2 , 1 - V ( 1,0 , 0 )

C   F d r = 4 - 0

E terminamos!

Resposta

C   F d r = 4

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