Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 12

Seja g : R R uma função diferenciável e h : R R uma primitiva de g , tal que h 1 = 2 , h 2 = 4 . Calcule

C x g x 2 + y 2 + z 2 d x + y g x 2 + y 2 + z 2 d y + z g x 2 + y 2 + z 2 d z

Onde C está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies x 2 + y 2 = 1 e y = z , percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Bem, para resolver essa integral de linha, não se preocupe com nada daquelas informações por enquanto ( h é primitiva de g e tal). Essas informações entraram conforme resolvemos a integral de linha, mas... Como resolvemos a integral de linha mesmo?

1º - Parametrizando a curva.

2º - Encontrando a derivada da parametrização.

3º - Trabalhando com a função vetorial que está sendo integrada.

Então vamos nessa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C que se desenharmos é essa curvinha na intersecção aqui oh:

Como estamos em cima de um cilindro

x 2 + y 2 = 1

vamos parametrizar essa circunferência como sempre fazemos (usando as “primas” das coordenas polares:

x = cos θ

y = sen θ

Como ele quer tudo isso no primeiro octante, vamos ter x 0 e y 0 isso nos diz que

θ 0 , π 2

Falta a componente z , mas sabemos que a curva está em cima do plano...

z = y

Então

z = sen θ

Vamos ter

σ θ = cos θ , sen θ , sen θ

Com θ 0 , π 2

A orientação está de boa, porque estamos trabalhando como normalmente fazemos, no sentido anti-horário.

Passo 3

A segunda coisa é calcularmos a derivada dessa parametrização, σ ' θ

σ θ = cos θ , sen θ , sen θ                               σ ' t = θ cos θ , θ sen θ , θ sen θ

σ ' t = - sen θ , cos θ , cos θ

Passo 4

Vamos realizar a terceira tarefa que é substituir os termos da parametrização

x = cos θ

y = sen θ

z = sen θ

Nos termos da função vetorial sem se preocupar com quem é g agora:

F x , y , z = x g x 2 + y 2 + z 2 , y g x 2 + y 2 + z 2 , z g x 2 + y 2 + z 2

Ficando

F σ θ = cos θ g cos 2 θ + sen 2 θ + sen 2 θ , sen θ g cos 2 θ + sen 2 θ + sen 2 θ , sen θ g cos 2 θ + sen 2 θ + sen 2 θ

Simplificando um pouco já que cos 2 θ + sen 2 θ = 1 ...

F σ θ = cos θ g 1 + sen 2 θ , sen θ g 1 + sen 2 θ , sen θ g 1 + sen 2 θ

Passo 5

Muito bem, agora podemos retornar à integral de linha que estamos trabalhando

C x g x 2 + y 2 + z 2 d x + y g x 2 + y 2 + z 2 d y + z g x 2 + y 2 + z 2 d z

e substituir tudo o que encontramos...

0 π / 2 cos θ g 1 + sen 2 θ , sen θ g 1 + sen 2 θ , sen θ g 1 + sen 2 θ - sen θ , cos θ , cos θ d θ

= 0 π / 2 - cos θ sen θ g 1 + sen 2 θ + sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ + sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ

= 0 π / 2 sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ

Agora sim, como a parte da integral de linha já basicamente finalizou, vamos nos preocupar em encontrar o g resolvendo essa integral aí. Vamos nessa?

Passo 6

Peguemos a mesma integral de cima, mas, para evitar escrever aqueles limites de integração toda hora, peguemos apenas a integral indefinida:

sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ

Repare que nessa integral aí, posemos realizar uma mudança de variável bem legal:

1 + sen 2 θ = u

Então...

2 sen θ cos θ d θ = d u

sen θ cos θ d θ = d u 2

A integral vai ficar

sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ = g u d u 2 =

1 2 g u d u

Agora vamos entender o que ele falou da função h , ele disse que ele é uma primitiva de g ... Isso significa que:

g x d x = h x

Logo...

sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ = 1 2 g u d u = 1 2 h u

Vamos voltar para θ

sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ = h 1 + sen 2 θ 2

Passo 7

Voltando a integral definida:

= 0 π / 2 sen θ cos θ g 1 + sen 2 θ d θ

Vamos ter

= h 1 + sen 2 θ 2 θ = 0 π / 2

= h 1 + sen 2 π 2 2 - h 1 + sen 2 0 2

= h 1 + 1 2 - h 1 + 0 2

= h 2 2 - h 1 2

= 4 2 - 2 2

= 2 - 1

= 1

Resposta

1

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