Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2011, Questão 1b

Seja F x , y = x + a r c t g ( y ) i + x + y 1 + y 2   j . Mostre que a integral γ   F . d r é independente do caminho e calcule a integral ( 0,0 ) ( 1,1 ) F . d r .

Passo 1

Antes de tudo: a integral de linha ser independente do caminho significa que o campo é conservativo, ok?

Bom, a gente poderia começar calculando o rotacional desse campo, na verdade, apenas o termo F 2 x - F 1 y porque só temos 2 coordenadas. Mas repara que o problema pediu para a gente provar que (não se) a integral independe do caminho e depois calcular a integral de linha que ele pede.

Logo, já sabemos que ele é conservativo. Claro, calcular o rotacional prova isso, mas calcular a função potencial do campo também. E isso, já vamos fazer de qualquer forma para calcular a integral de linha, então não vamos perder tempo, vamos calcular a função potencial direto né.

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

γ   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F = f

Onde é o operador de derivadas parciais:

= x ,   y ,   z

Temos então o seguinte:

x + a r c t g y , x + y 1 + y 2 .   = f x ,   f y

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

f x = x + a r c t g y f x , y = x 2 2 + x   a r c t g ( y ) + M ( y )

f y = x + y 1 + y 2 = x 1 + y 2 + y 1 + y 2 f x , y = x   a r c t g ( y ) + 1 2 ln 1 + y 2 + P ( x )

Comparando as equações, vemos que:

M y = 1 2 ln 1 + y 2

P x = x 2 2

O que nos dá

f x , y = x 2 2 + x   a r c t g y + 1 2 ln 1 + y 2 + k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f 0,0 = 0 + 0 + 1 2 ln 1 + k = k

f 1 , 1 = 1 2 + a r c t g 1 + 1 2 ln 2 + k = 1 2 + π 4 + 1 2 ln 2 + k

Logo,

γ   F . d r = f B - f ( A )

γ   F . d r = 1 2 + π 4 + 1 2 ln 2 + k - k =

= 1 2 + π 4 + 1 2 ln 2

Resposta

1 2 + π 4 + 1 2 ln 2

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