Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 170-3.

Seja Ω = x , y R 2 x , y A } , onde A é a semi-reta x , y R 2 y = 0   e   x 0 } . Calcule

γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

Onde γ : 0,1 R 2 é uma curva C 1 por partes, com imagem contida em Ω , tal que γ 0 = ( 1,1 ) e γ 1 = ( 1 , - 1 ) .

Passo 1

Bem, o que o exercício pede é uma integral de linha:

γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = a b F x , y σ ' t d t

Nós temos o campo F = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mas o enuciado não nos dá nenhuma curva específica, então não temos como parametrizá-la.

Então vamos torcer pra que possamos resolvê-la de outra forma... O que acha de uma função potencial? Parece uma boa ideia, vamos ver se dá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente viu na teoria que, para podermos achar uma função potencial, o campo deve ser conservativo. Ou seja como ele está definido para toda a região (já que a reta y = 0 não pertence ao conjunto dado), só precisamos verificar:

F 2 x - F 1 y = 0

Vamos testar:

F 2 x = x x 2 + y 2 x = 1 x 2 + y 2 - x 2 x x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

F 1 y = - y x 2 + y 2 y = - 1 x 2 + y 2 - - y 2 y x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Valores meio estranhos, mas pelo menos:   F 2 x - F 1 y = 0

Ou seja, o campo é conservativo e existe uma função potencial!

Passo 3

Se existe uma função potencial f , a gente viu que:

γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = f B - f ( A )

Sendo A = ( 1,1 ) e B = ( 1 , - 1 ) .

Então só falta acharmos essa nossa função potencial f ( x , y ) , vamos lembrar do método que temos:

F 1 = f x     f = F 1 d x

  f ( x , y ) = - y x 2 + y 2   d x = arctan y x + g ( y )

F 2 = f y = - arctan x y + g y y = x x 2 + y 2 + g ' y = x x 2 + y 2

g ' y = 0 g y = C

Então:

f x , y = arctan y x + g y = arctan y x + C

Passo 4

Finalmente, vamos ter:

γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = f B - f A = arctan - 1 1 + C - arctan 1 1 + C

Mas, podemos ver pela circinferência trigonométrica:

O primeiro ponto é 1 , - 1 , logo para y negativo e x positivo:

arctan ( - 1 ) = - π 4

O primeiro ponto é 1,1 , logo para y positivo e x positivo:

arctan ( 1 ) = π 4

Então:

arctan ( - 1 ) - arctan 1 = - π 4 - π 4 = - π 2

Resposta

- π 2

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