Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 5

Seja a , b R 2 tal que a 2 + b 2 = 1   e   b < 0 .

Se ( 1,1 ) ( a , b ) 2 x y d x + x 2 - y 2 d y =   - 2 3 ,   então os possíveis valores do par ( a , b ) são:

Passo 1

Nessa questão, um bizu legal é começarmos pelo rotacional, assim, se obtivermos zero, sabemos que temos um campo conservativo, certo?

r o t F = F 2 x - F 1 x

r o t F = 2 x - 2 x = 0

Opa, encontramos um campo conservativo, logo teremos:

f 1 = 2 x y   d x = x 2 y + A y

f 2 = x 2 y 2 d y = x 2 y - y 3 3 + A ( x )

Então ficamos com:

f = x 2 y - y 3 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos trabalhando com um ccampo conservativo, sabemos que:

( 1,1 ) ( a , b ) 2 x y d x + x 2 - y 2 d y =   f a , b - f 1,1 = - 2 3

f a , b = a 2 b - b 3 3

f 1,1 = 1 - 1 3 = 2 3

f a , b - f 1,1 = a 2 b - b 3 3 - 2 3 = - 2 3

a 2 b - b 3 3 = 0

Passo 3

Do enunciado ainda sabemos que:

a 2 + b 2 = 1

Com isso podemos montar um sisteminha e encontrar os valores possíveis de a e b.

a 2 + b 2 = 1 a 2 b - b 3 3 = 0

Isolando o a 2 e subistituindo na seguinda equação:

a 2 = 1 - b 2

1 - b 2 b - b 3 3 = 0

b - b 3 - b 3 3 = 0

b 1 - b 2 - b 2 3 = 0  

Ficamos com isso que b=0. No entanto o enunciado nos passa que temos b > 0 ,   então descartamos essa possibilidade .

1 - b 2 - b 2 3 = 0

1 - 4 b 2 3 = 0

b = ± 3 2

Observa que usaremos apenar o valor positivo de b, uma vez que no enunciado temos que b > 0 .

Passo 4

Por ultimo, mas não menos importante, substituímos esse valor encontrado de b em uma das equações do sistema.

a 2 + b 2 = 1

a 2 + 3 4 = 1

a 2 = 1 4

a = ± 1 2

Ficamos então com os pontos:

Resposta

1 2 , 3 2 e   - 1 2 , 3 2

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