Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 8

Seja C o trecho da parábola 2 y = - 2 x 2 + x + 1 de (-1, -1) a (1,0). A integral C - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y   é igual a:

Passo 1

Logo de cara a gente consegue perceber que resolver isso daí pelo método direto ia ser bem complicado. Joga a parametrização disso aí dentro dessa campo não ia ser maneiro.

Vamos ver se nosso r o t F = 0 , o que seria um facilitador na nossa vida.

r o t F = F 2 x - F 1 y

F 2 x = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

F 1 y = - x 2 + y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2

Logo:

r o t F = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, isso pode ser um grande facilitador na nossa vida. Lembra que quando estamos trabalhando com um campo conservativo temos a independência do caminho?

Fazer a integral de linha em cima dessa curva:

Expressa o mesmo resultado numérico dessa abaixo:

No entanto, perceba que na segunda imagem estamos trabalhando com duas curvas. Então ficamos com:

C F   d r =   r F   d r   + C 1 F   d r

Onde r representa a reta vermelha, e C 1 representa a semi circunferência azul.

Passo 3

Calculando a integral de linha em cima da reta temos:

Parametrizando a reta:

r t = t , - 1

- 1 t 0

Termo ds:

r ' t = ( 1,0 )

Não podemos esquecer de escrever o campo em função da parametrização.

F = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

F r t = 1 t 2 + 1 , t t 2 + 1

Montando então nossa integral ficamos com:

- 1 0 1 t 2 + 1 , t t 2 + 1 1,0 d t

- 1 0 1 t 2 + 1 d t

a r c t g 0 - a r c t g ( - 1 )

0 - - π 4

= π 4

Passo 4

Bom, até então calculamos a integral em cima da reta, ficamos ainda faltando a integral em cima do semi circulo que varia entre 3 π 2 até 2 π .

Parametrizando:

φ t = cos t ,   s e n t

3 π 2 t 2 π

Termo ds:

φ ' t = - s e n ( t ) ,   c o s ( t )

Escrevendo o campo em função da parametrização ficamos com:

F = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

F φ t = - s e n ( t ) , c o s ( t )

Montando a integral e resolvendo:

3 π 2 2 π - s e n t , cos t - s e n t , cos t d t

3 π 2 2 π s e n 2 t + cos 2 ( t ) d t

3 π 2 2 π 1 d t

= 2 π - 3 π 2

= π 2

Passo 5

Pra finalizar então voltamos a nossa igualdade:

C F   d r =   r F   d r   + C 1 F   d r

C F   d r =   π 4 + π 2

= 3 π 4

Resposta

= 3 π 4

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