Exercícios Resolvidos de Função Potencial

USP, Cálculo 3, P2 - 2016, Questão 2a

Sejam F 1 ,   F 2 ,   F 3 os campos vetoriais definidos como:

F 1 x , y = sen y   e x sen y ,   x cos y   e x sen y ,   F 2 x , y = 0 , x ,   F 3 = F 1 + F 2

Decida, justificando, se cada um dos campos F 1 ,   F 2 ,   F 3 é conservativo ou não.

Passo 1

Para determinar se o campo é conservativo vamos analisar o rotacional de cada um deles. Lembre-se que, se o rotacional for diferente de zero, o campo com certeza não é conservativo. Caso contrário teremos que analisar mais.

O rotacional pode ser calculado por

F 1 = ( P , Q )

r o t   F 1 = Q x - P y

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Passo 2

Vamos então calcular o rotacional de F 1 , primeiro derivamos Q em função de x , considerando y constante:

Q = x cos y e x sen y

Vamos ter que usar a regra do produto nessa derivada aqui, fica assim:

Q x = cos y e x sen y + x sen y e x sen y

Q x = cos y e x sen y + x sen y cos y e x sen y

Agora derivando P em relação a y , considerando x constante:

P = sen y e x sen y

Também aplicando a regra do produto aqui:

P y = cos y e x sen y + sen y x cos y e x sen y

P y = cos y e x sen y + x sen y cos y e x sen y

Portanto, como as duas derivadas são iguais, nosso rotacional fica igual a zero!

r o t   F 1 = Q x - P y = 0

Como nosso campo é contínuo em todos os pontos (não temos nenhuma singularidade) e o seu rotacional é zero, podemos afirmar que o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos fazer o cálculo do rotacional de F 2 agora! Derivando Q em relação a x :

Q = x

Q x = 1

Derivando P em relação a y :

P = 0

P y = 0

Logo o rotacional vai ser:

r o t   F 2 = Q x - P y = 1 - 0

r o t   F 2 = 1

Com isso pode-se concluir que F 2 não é um campo conservativo!

Passo 4

Vamos ao cálculo do rotacional de F 3 . O enunciado nos diz que

F 3 = F 1 + F 2

Só que já calculamos o rotacional de F 1 e de F 2 , não vamos precisar calcular tudo de novo. Isso porque o rotacional possui uma propriedade aditiva, assim como as derivadas! O que isso quer dizer? Quer dizer que a derivada da soma de duas funções é igual a soma das derivadas!

Em outras palavras, é isso aqui:

f 1 x + f 2 x ' = f 1 x ' + ( f 2 x ) '

O interessante é que, como rotacional é calculado por meio de derivadas, ele também possui essa propriedade! Ou seja:

r o t F 1 + F 2 = r o t   F 1 + r o t   F 2

Podemos então só usar os resultados obtidos nos passos anteriores:

r o t   F 3 = 0 + 1 = 1

Portanto, como o rotacional é diferente de zero, o campo não é conservativo!

Resposta

F 1 é conservativo

F 2 não é conservativo

F 3 não é conservativo

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