Exercícios Resolvidos de Função Potencial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2017.1, Questão 2

2) Sejam U = x ,   y R 2   | - π x π ,   - π 2 y π 2 e F : U R 2 , dado por:

F x ,   y = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y ,   - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y

  1. Prove que F é um campo conservativo em U e calcule um potencial de F em U .
  2. Seja G : U R 2   dado por

G x ,   y = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y - 2 y - x ,   - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y - 2 y + x

Calcule γ   G d s , onde γ : π 4 , 5 π 4 R 2 é dada por γ t = cos t , sin t .

Passo 1

a )

Bem, já que sabemos que o campo é conservativo e o problema nos pede para calcular essa função potencial, calculemos essa função potencial e se encontrarmos uma expressão... Estará provado que o campo é conservativo, saca?

Se ele é conservativo então ele satisfaz F = ω . Mas quem é esse ômega que apareceu aí? :\

Esse ômega é a função potencial, e pela teoria, o gradiente dela deve ser igual ao campo F , só isso, beleza?

ω x ,   ω y = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y ,   - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y

Portanto a gente pode dizer que

I                 ω x = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y

I I                 ω y = - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o que a gente deve fazer agora é pegar a primeira I I , por questão d epreferência, e integrar com relação a y

ω x , y =     - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y d y + g ( x )

Note que aparece um g ( x ) aí, pois se derivarmos em relação à x ela some, então integramos ela volta. Como se fosse a constante de integração,saca? Mas não se preocupe, no próximo passo a determinamos

Integrando considerando x constante e fazendo uma substituição do tipo sin 2 x + cos 2 y = t ...

d t = - 2 cos y sin y d y             cos y sin y d y   = d t 2

ω =     1 t d t 2 + g x =

1 2 ln t + g x

Substituindo novamente...

ω x , y = 1 2 ln sin 2 x + cos 2 y + g x

Passo 3

Como eu disse, vamos agora determinar g ( x ) , e como podemos fazer isso? Derivando ω com relação a x e depois comparando com o que temos em I ...

ω x = x 1 2 ln sin 2 x + cos 2 y + g x )

ω x = 1 2 1 sin 2 x + cos 2 y 2 sin x cos x + g ' x  

ω x = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y + g ' ( x )

Comparando agora com o que temos em ( I ) do passo 3...

sin x cos x sin 2 x + cos 2 y + g ' ( x ) = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y

Cortando essas coisas iguais

g ' x = 0

Integrando, g x só pode ser uma constante para sua derivada se anular... g x = k

Tomando essa constante c como zero (ela é indiferente pra nós aqui ), uma função potencial para a F é

ω x , y = 1 2 ln sin 2 x + cos 2 y

Esse é um potencial para o campo F que, portanto, por ter uma função potencial continua no domínio de U aberto, é conservativo ;)

Passo 4

b )

Pow! Note que essa função G aí...

G x ,   y = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y - 2 y - x ,   - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y - 2 y + x

Pode ser dividida em outros dois campos...

G x ,   y = F x ,   y + H x ,   y

G x ,   y = sin x cos x sin 2 x + cos 2 y ,   - sin y cos y sin 2 x + cos 2 y + - 2 y - x ,   - 2 y + x

Então a integral de linha sobre a curva γ de G , nada mais é do que a integral de linha da soma...

γ   G x ,   y d s = γ   F x ,   y d s + γ   H x ,   y d s

Fazer essa separação é vantajoso, pois já calculamos uma função potencial para a F e com ela em mãos... Vêm comigo ;)

Passo 5

Pela teoria, se ω é uma função potencial para F , então

γ   F x ,   y d s = ω B - ω ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. No nosso caso esses pontos são

A π 4 = γ π 4 = cos π 4 , sin π 4 =

2 2 , 2 2

B 5 π 4 = γ 5 π 4 = cos 5 π 4 , sin 5 π 4 =

- 2 2 , - 2 2

ω x , y = 1 2 ln sin 2 x + cos 2 y

ω A = ω 2 2 , 2 2 = 1 2 ln sin 2 2 2 + cos 2 2 2 =

Como sin 2 x + cos 2 x = 1 ...

1 2 ln 1 = 0

Calculando o outro...

ω B = ω - 2 2 , - 2 2 = 1 2 ln sin 2 - 2 2 + cos 2 - 2 2 =

1 2 ln 1 = 0

Logo...

γ   F x ,   y d s = ω B - ω A =

0 - 0 = 0

Passo 6

Quanto a outra integral...

γ   H x ,   y d s

O campo H x ,   y , já vimos que é H x ,   y = - 2 y - x ,   - 2 y + x , e a curva parametrizada é

γ t = cos t , sin t

γ : π 4 , 5 π 4 R 2

Então, lembrando que uma integral de linha da forma direta fica...

γ   H x ,   y d s = π 4 5 π 4 H γ t γ ' t d t

Aplicando a função H na parametrização...

H γ t = - 2 sin t - cos t ,   - 2 sin t + cos t

Calculando também a derivada da parametrização...

γ ' t = cos t , sin t ' = - sin t , cos t

π 4 5 π 4 - 2 sin t - cos t ,   - 2 sin t + cos t - sin t , cos t d t =

π 4 5 π 4 2 sin 2 t + sin t cos t - 2 cos t sin t + cos 2 t d t =

π 4 5 π 4 sin 2 t - cos t sin t + 1 d t

Como sin 2 t = 1 - cos 2 t 2 e cos t sin t = sin 2 t 2

π 4 5 π 4 sin 2 t - cos t sin t + 1 d t = π 4 5 π 4 1 2 - cos 2 t 2 - sin 2 t 2 + 1 d t =

3 2 t - sin 2 t 4 + cos 2 t 4 π 4 5 π 4 =

15 8 π - sin 5 π 2 4 + cos 5 π 2 4 - 3 8 π - sin π 2 4 + cos π 2 4 =

15 8 π - 1 4 - 3 8 π - 1 4 = 3 2 π

Concluímos aqui então que

γ   G x ,   y d s = γ   F x ,   y d s + γ   H x ,   y d s

γ   G x ,   y d s = 0 + 3 2 π

3 2 π

Resposta

a )     C o n s e r v a t i v o                     1 2 ln sin 2 x + cos 2 y

b )   3 2 π

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