Exercícios Resolvidos de Função Potencial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 38

Verificar que a integral

1,1 3,3 e x ln y - e y x d x + e x y - e y ln x d y

Independe do caminho e calculo o seu valor.

Passo 1

Para a função independer do caminho ela deve ser conservativa, para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

F 2 x - F 1 y

Nesse exercício ele fez F 1 = e x ln y - e y x e F 2 = e x y - e y ln x , mas as contas são as mesmas

F 2 x = x e x y - e y ln x = e x y - e y x

F 1 y = y e x ln y - e y x = e x y - e y x

Vamos ter

F 2 x - F 1 y = 0

Logo essa função é conservativa no seu domínio simplesmente conexo (onde estamos trabalhando ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar a função potencial, devemos ter

f x = F 1

f = F 1 x = e x ln y - e y x x = e x ln y - e y ln x + A y

Além disso devemos ter

f y = F 2

f = F 2 y = e x y - e y ln x y = e x ln y - e y ln x + B x

Igualando esses caras vamos ter

e x ln y - e y ln x + B x = e x ln y - e y ln x + A y

B x = A y

Isso nos diz que B e A devem ser constantes, então a função potencial vai ficar

f x , y = e x ln y - e y ln x + K

Passo 3

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final, a curva começa em 1,1 e termina em 3,3

A integral vai ficar

C F d r = f 3,3 - f 1,1

C F d r = e 3 ln 3 - e 3 ln 3 + K - e 1 ln 1 - e 1 ln 1 + K

0 + K - 0 + K

0

Resposta

0

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