Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : Z → Z , f n = n - n

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f n = k

E tentar achar o valor de n , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos abrir aquele módulo

n = n , n ≥ 0 - n , n < 0

A função vai ficar

f n = n - n , n ≥ 0 n - - n , n < 0

f n = 0 , n ≥ 0 2 n , n < 0

Passo 3

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora.

Repara que a função não tem nenhum valor positivo, isso porque 2 n acontece so quando n < 0

Se tivemos k = 3

Não tem n onde f n = 3

Ela não é sobrejetora

Passo 4

Ela também não vai ser injetora, isso porque temos infinitos valores indo até o 0 , todo valor positiva vai para o 0

Passo 5

Como ela não é injetora nem sobrejetora, ela não vai ser bijetora.

Resposta

Não é sobrejetora, não é injetora, não é bijetora.

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