Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : R * → R , f x = 1 x 2

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f x = k

E tentar achar o valor de x , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora. Lembrando que nessa questão k ∈ R

f x = k

1 x 2 = k

x 2 = 1 k

x = ± 1 k

Esse número é real, porém basta pegarmos um k negativo que deveríamos ter x negativo também.

Então não existe x nos reais onde

f x = - 1

Logo ela não é sobrejetora.

Passo 3

Vamos pegar x 1 , x 2 , com

f x 1 = f x 2

Teremos

1 x 1 2 = 1 x 2 2

x 1 2 = x 2 2

Aqui temos que tomar cuidado, quando tiramos a raiz quadrada, temos que colocar o ±

x 1 = ± x 2

Então podemos pegar, por exemplo, x 1 = 1 e x 2 = - 1 , e vamo ter f x 1 = f x 2 mas x 1 ≠ x 2

Essa função não é injetora.

Passo 4

Como ela não é injetora nem sobrejetora, ela não vai ser bijetora.

Resposta

não é injetora nem sobrejetora, ela não vai ser bijetora.

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