Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a função inversa

b) y = x 2 - x ,     x ≥ 1 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a inversa da função f ( x ) . Mas o que é uma inversa?

Uma função inversa, como o nome já sugere, é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Como assim? As funções inversas “revertem” umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b , então a inversa, f - 1 , deve levar b para a :

Ou, em outras palavras, f a = b   ⟺ f - 1 b = a .

No nosso caso, nós temos a lei de formação da função:

y = x 2 - x

E nós precisamos encontrar f - 1 ( x ) . Como fazemos isso? Nós temos uma y = f x e vamos encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída y . Quer dizer, vamos trocar x e y de lugar inicialmente, e então isolar y para escrever a inversa em forma de função. Vamos lá!

Passo 2

Da nossa função y = x 2 - x , trocando x por y , temos:

x = y 2 - y

Agora o que podemos fazer pra isolar y ? Podemos primeiramente subtrair x dos dois lados:

y 2 - y - x = 0

Agora percebe que nós temos uma equação do segundo grau? Nesse caso, para a equação a = 1 , b = - 1 e c = - x , e então podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar y :

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores da equação:

y = - - 1 ± - 1 2 - 4 ( 1 ) ( - x ) 2 ∙ 1 = 1 ± 1 + 4 x 2

Então a nossa função tem duas inversas:

f - 1 x = 1 + 1 + 4 x 2

E

f - 1 x = 1 - 1 + 4 x 2

O enunciado nos dá a informação adicional de que x ≥ 1 2 , essa informação não interfere no cálculo da inversa, mas impõe uma restrição na função, que fica mais fácil de visualizar no gráfico das duas inversas:

Em azul nós temos a função 1 + 1 + 4 x 2 e em vermelho a função 1 - 1 + 4 x 2 , ambas começando em x = 1 2 .

É isso, galera! Encerramos o exercício, até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 x = 1 + 1 + 4 x 2

E

f - 1 x = 1 - 1 + 4 x 2

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