Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : R → R , f x = a x + b , a ≠ 0

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f x = k

E tentar achar o valor de x , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora. Lembrando que nessa questão k ∈ R

f x = k

a x + b = k

a x = k - b

x = k - b a

Como a ≠ 0 esse número vai ser real para qualquer valor de k , ela é sobrejetora

Passo 3

Vamos pegar x 1 , x 2 , com

f x 1 = f x 2

Teremos

a x 1 + b = a x 2 + b

a x 1 = a x 2

Como a ≠ 0

x 1 = x 2

Opa, como eles são iguais, essa função é injetora.

Passo 4

Como ela é injetora e sobrejetora, ela vai ser bijetora.

Resposta

é sobrejetora, é injetora, é bijetora.

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