Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : R × R → R × R , f x , y = x , y 3

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f n = k

E tentar achar o valor de n , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora.

Para isso, vamos pegar um par a , b e ver se tem solução para todo a e b

f x = a , b

x , y 3 = a , b

Assim, devemos ter

x = a

y 3 = b → y = b 3

Então, para um a , b basta pegarmos a , b 3 ,

Ela é sobrejetora

Passo 3

Vamos pegar x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , com

f x 1 , y 1 = f x 2 , y 2

Teremos

x 1 , y 1 3 = x 2 , y 2 3

Assim, devemos ter

x 1 = x 2

e

y 1 3 = y 2 3 → y 1 = y 2

Assim, vamos ter

x 1 , y 1 = x 2 , y 2

Essa função é injetora.

Passo 4

Como ela é injetora e sobrejetora, ela vai ser bijetora.

Resposta

é sobrejetora, é injetora, é bijetora.

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