Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : R × R → R , f x , y = x - y

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f n = k

E tentar achar o valor de n , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora.

Para isso, vamos pegar um k e ver se tem solução

f x , y = k

x - y = k

Podemos pegar um valor qualquer de y , y 0 e vamos ter

x = k + y 0

Assim, se tivermos

k + y 0 , y 0

Ela é sobrejetora

Passo 3

Vamos pegar x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , com

f x 1 , y 1 = f x 2 , y 2

Teremos

x 1 - y 1 = x 2 - y 2

Aqui, não necessariamente vamos ter

x 1 = x 2

E

y 1 = y 2

Basta pegarmos

y 1 = 1

y 2 = 2

x 1 = 1

x 2 = 2

Vamso ter

f 1,1 = 1 - 1 = 0

f 2,2 = 2 - 2 = 0

Essa função não é injetora.

Passo 4

Como ela não é injetora, mesmo sendo sobrejetora, ela não vai ser bijetora.

Resposta

é sobrejetora, não é injetora, não é bijetora.

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