Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a função inversa

c) y = e x 1 + 2 e x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a inversa da função f ( x ) . Mas o que é uma inversa?

Uma função inversa, como o nome já sugere, é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Como assim? As funções inversas “revertem” umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b , então a inversa, f - 1 , deve levar b para a :

Ou, em outras palavras, f a = b   ⟺ f - 1 b = a .

No nosso caso, nós temos a lei de formação da função:

y = e x 1 + 2 e x

E nós precisamos encontrar f - 1 ( x ) . Como fazemos isso? Nós temos uma y = f x e vamos encontrar a entrada de f que corresponde a uma saída y . Quer dizer, vamos trocar x e y de lugar inicialmente, e então isolar y para escrever a inversa em forma de função. Vamos lá!

Passo 2

Da nossa função y = e x 1 + 2 e x , trocando x por y , temos:

x = e y 1 + 2 e y

Agora o que podemos fazer pra isolar y ? Podemos inicialmente multiplicar os dois lados por 1 + 2 e y :

( 1 + 2 e y ) x = e y 1 + 2 e y 1 + 2 e y

Então ele se cancela com o denominador do lado direito:

1 + 2 e y x = e y

Aplicando a distributiva do lado esquerdo:

x + 2 x e y = e y

Agora podemos subtrair 2 x e y dos dois lados:

x + 2 x e y - 2 x e y = e y - 2 x e y

x = e y - 2 x e y

Observe que temos e y duas vezes do lado direito, então podemos colocá-lo em evidência:

x = e y ( 1 - 2 x )

Lembra que queremos isolar o y ? Estamos bem perto disso, vamos dividir os dois lados por ( 1 - 2 x ) pra melhorar:

x 1 - 2 x = e y 1 - 2 x 1 - 2 x

Cancelando os termos iguais do lado direito:

x 1 - 2 x = e y

Olha só, já temos y de um lado e x do outro, só precisamos nos livrar da exponencial agora. Pra tirar o y do expoente a gente pode usar o logaritmo natural dos dois lados, que é a inversa da função exponencial e . Então, temos:

ln ⁡ ( e y ) = ln ⁡ x 1 - 2 x

Pela propriedade do logaritmo, temos:

y ln ⁡ e = ln ⁡ x 1 - 2 x

O logaritmo natural de e é 1 , então:

y ∙ 1 = ln ⁡ x 1 - 2 x

y = ln ⁡ x 1 - 2 x

Portanto, a inversa da nossa função é:

f - 1 x = ln ⁡ x 1 - 2 x

É isso, galera! Encerramos o exercício, até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 x = ln ⁡ x 1 - 2 x

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