Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : 0 , + ∞ → R , f x = x

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f x = k

E tentar achar o valor de x , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora. Lembrando que nessa questão k ∈ R

f x = k

x = k

x = k 2

Esse número é real, e qualquer valor de k que pegarmos vai ser positivo porque k 2 é positivo, mas calma. Aqui tem uma pegadinha.

A raiz quadrada SEMPRE é positiva, então basta pegarmos um k negativo.

Mas gente, se colocar - 1 ali e elevar ao quadrado dá 1 , sim dá mesmo, mas qual a raiz quadrada de 1 ? Não vai ser - 1 . Isso e um detalhe mega chatinha que temos com raízes.

Então não existe x nos reais onde

f x = - 1

Logo ela não é sobrejetora.

Passo 3

Vamos pegar x 1 , x 2 , com

f x 1 = f x 2

Teremos

x 1 = x 2

x 1 2 = x 2 2

x 1 = x 2

Opa, essa função é injetora.

Passo 4

ela é injetora, mas não é sobrejetora, mas para ser bijetora precisa ser ambas as coisas ao mesmo tempo. ela não vai ser bijetora.

Resposta

é injetora, não é sobrejetora, não vai ser bijetora.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas