Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Seja f x = x 3 + 5 x - 6 e g a função inversa de f . Calcule g ' x , g ' ' x em termos de g x . Calcule g ' ' 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e diz que g x é sua função inversa.

Queremos saber a primeira e a segunda derivada de g x , em termos de g x .

Também, queremos calcular g ' ' 0 .

Primeiramente, devemos saber da derivada de f x :

f ' x = 3 x 2 + 5

Vamo lá??? Bora junto!! 😉

Passo 2

Bom... sabemos que a primeira derivada de g é dada por:

g ' x = 1 f ' g x ∴

g ' x = 1 3 g x 2 + 5

Passo 3

Já para a segunda derivada, temos:

g ' ' x = d d x g ' x ∴

g ' ' x = d d x 1 3 g 2 x + 5 ∴

g ' ' x = - 1 3 g 2 x + 5 2 * 6 g x * g ' x

Como g ' x = 1 3 g x 2 + 5 , então:

g ' ' x = - 1 3 g 2 x + 5 2 * 6 g x * 1 3 g x 2 + 5 ∴

g ' ' x = - 1 3 g 2 x + 5 3 * 6 g x

Passo 4

Agora, para g ' ' 0 , temos:

0 = g 0 3 + 5 g 0 - 6 ∴

g 3 0 + 5 g 0 - 6 = 0 ∴

g 0 = 1

Substituindo em g ' ' x :

g ' ' 0 = - 1 3 g 2 0 + 5 3 * 6 g 0 ∴

g ' ' 0 = - 1 3 1 2 + 5 3 * 6 * 1 ∴

g ' ' 0 = - 3 256

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' x = 1 3 g x 2 + 5

g ' ' x = - 1 3 g 2 x + 5 3 * 6 g x

g ' ' 0 = - 3 256

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