Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

4. Seja f :   R → R a função definida por

f x = f x = - x + 1 ,     s e   x ≤ - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 < x < 1 2 - x 2 + 1 4 ,               s e   x ≥ 1 2  

Podemos afirmar que:

  1. f é sobrejetora mas não é injetora;
  2. f é injetora mas não é sobrejetora;
  3. f é bijetora;
  4. f f 1 2 = 0 ;
  5. Nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que verificar qual frase é verdade, com base na função dada. Repare que as afirmações são sobre funções sobrejetoras e injetoras. Então vamos revisar essas definições!

Para quem não lembra.

- Uma função f é injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

- Uma função f é sobrejetora se para cada valor de y existir ao menos um valor de x associado:

y 1 → x 1

Agora bora analisar por partes!

Passo 2

Começando com x ≤ - 1 . Neste caso temos que

f x = - x + 1

Temos uma função do primeiro grau! E toda função do primeiro grau é injetora e sobrejetora, ou seja, temos uma função bijetora.

Logo essa parte é bijetora!

Passo 3

Já no intervalo - 1 < x < 1 2 temos o seguinte comportamento,

f x = x 2 + 1

Polinômios do segundo grau não são funções injetoras, pois para um diferentes x temos o mesmo y .

Mas repara que ela só tem esse comportanto em um intervalo, então pode ser que neste interval ela seja injetora.

Para descobrir se ela é injetora ou não, temos que encontrar dois valores de x que possuem o mesmo y . Como essa função tem uma parte negativa e uma positiva, podemos pensar em x = - 1 3 e x = 1 3 .

f - 1 3 = - 1 3 2 + 1 = 1 9 + 1

f + 1 3 = + 1 3 2 + 1 = 1 9 + 1

Opaaa, confirmamos que essa parte não é injetora. Logo a nossa função é injetora.

Passo 4

Agora, para avaliar se essa parte é sobrejotra, temos que verificar que se o valor de y em x = - 1 é igual se calcularmos pela primeira parte e segunda parte.

A primeira parte é

f x = - x + 1

Logo,

f - 1 = - - 1 + 1 = 2

Já a segunda parte é

f x = x 2 + 1

Logo,

f - 1 = - 1 2 + 1 = 2

Então até agora a nossa função não é injetora, mas é sobrejetora.

Passo 5

Para avaliar a terceira parte, só precisamos descobrir se ela parte é sobrejotra, pois já sabemos que a função é injetora, já que temos uma parte que não é injetora.

Vamos verificar se o valor de y em x = 1 2 é igual se calcularmos pela segunda parte e terceira parte.

A segunda parte é

f x = x 2 + 1

Logo,

f 1 2 = 1 2 2 + 1 = 1 4 + 1

Já a terceira parte,

f x = - x 2 + 1 4

Logo,

f 1 2 = - 1 2 2 + 1 4 = 1 4 + 1 4 = 0

Ou seja, pode haver um ponto de y que não há um ponto de x correspondente. Então a nossa função não é injetora, nem sobrejetora.

Passo 6

Por fim, só nos resta saber se f f 1 2 = 0 é verdadeira.

Acabamos de calcular f 1 2 = 0 . Agora precisamos calcular f 0 .

Para isso, vamos usar a segunda parte,

f 0 = 0 2 + 1 = 0

Opaaa! A afirmação está errado. Logo nenhuma das alternativas é verdadeira.

Resposta

e

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