Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Sejam dados A e B conjuntos não vazios.

  1. Defina rigorosamente o conceito de função de A em B
  2. Defina rigorosamente os conceitos de função injetora, sobrejetora e bijetora.

Passo 1

Letra a )

A definição rigorosa de função é a seguinte

Dados dois conjuntos A e B , uma função de A em B é um subconjunto f de A × B , portanto uma relação entre A e B satisfazendo a seguinte propriedade

Para todo x ∈ A , existe um único elemento y ∈ B tal que x , y ∈ f

Moleza né? Próxima rs

Gente, calma. Não vamos fazer isso com vocês, além de colocarmos a definição vamos entende o que ela significa tá?

Vamos considerar dois conjuntos A e B

A relação entre eles é conectarmos elementos de A em elementos de B , como por exemplo

Estamos relacionando o 5 com o 5 , o 4 com o 4 , o 2 com o 3 e o 1 com o 3 .

A função é quando, TODO elemento de A está relacionado a APENAS UM elemento de B com alguém.

Essa relação verde não é função porque o 3 não tem relação com ninguém.

Nessa relação vermelha, todos os elementos de A tem uma relação, mas o 1 está relacionado com o 1 e com o 2 ao mesmo tempo, então também não teremos uma função.

Agora essa relação azul é uma função, porque todos de A tem relação e está ligados a um único elemento de B . Não tem problema o 2,3 , 4 estarem ligados no mesmo elemento de B , desde que eles estejam ligados a um elemento só de B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro para a função injetora

Uma função é injetora se para qualquer para de elementos distintos do domínio, suas imagens são também distintas.

Em outras palavras, f : A → B , x 1 , x 2 ∈ A com x 1 ≠ x 2 , temos f x 1 ≠ f x 2

Podemos ver isso de outra forma também, que é a contrapositiva x 1 , x 2 ∈ A , com f x 1 = f x 2 então x 1 = x 2

Mas o que isso significa?

Essa função não será injetora, porque para ser injetora cada elemento de A deve estar ligado a um diferente elemento de B .

Essa agora vai ser uma função injetora.

Passo 3

Vamos agora para a função sobrejetora

Uma função é sobrejetora se a imagem coincide com o contradomínio. Ou seja, se todo elemento de B possui uma relação com algum elemento de A

Essa nossa função azul não é sobrejetora, porque o 2 e o 3 estão em B mas não possuem relação.

Agora sim, todos os elementos de B tem relação com o de A

Passo 4

A função bijetora é uma função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Como a nossa função laranja

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