Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Para cada uma das seguintes funções, determine se são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, justificando.

f : N → N , f n = 3 n + 1

Passo 1

Aqui, temos que tentar mostrar que a função é injetora ou sobrejetora.

Como vamos fazer isso?

Para a função sobrejetora, vamos supor um k onde

f n = k

E tentar achar o valor de n , se der algum problema na conta então ela não vai ser sobrejetora. Se para qualquer k a equação possuir solução ela vai ser sobrejetora.

Para a função injetora, temos que pegar x 1 , x 2 no domínio, e tentar resolver a equação

f x 1 = f x 2

Se concluirmos que x 1 = x 2 então ela é injetora, se tiver algum par de valores que resolva a equação e x 1 ≠ x 2 , vamos ter que ela não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar vendo se ela é sobrejetora. Lembrando que nessa questão k ∈ N

f n = k

3 n + 1 = k

3 n = k - 1

n = k - 1 3

Mas aqui podemos pegar vários valores de k que dão problema. Isso porque o n precisa ser natural.

Se tivemos k = 2

n = 2 - 1 3 = 1 3

Mas isso não é inteiro, então não tem n onde f n = 2

Ela não é sobrejetora

Passo 3

Vamos pegar n 1 , n 2 , com

f n 1 = f n 2

Teremos

3 n 1 + 1 = 3 n 2 + 1

3 n 1 = 3 n 2

n 1 = n 2

Opa, como eles são iguais, essa função é injetora.

Passo 4

Como ela é injetora mas não sobrejetora, ela não vai ser bijetora.

Resposta

Não é sobrejetora, é injetora, não é bijetora.

Não existe n natural onde

f n = 2

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