Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

16. Considere as afirmações:

  1. f x = sin ⁡ x + tan ⁡ x é uma função ímpar.
  2. g x = arcsin ⁡ x é injetora.
  3. sin ⁡ x - π 2 = - cos ⁡ x para todo x   ϵ   R

São verdadeiras:

  1. Todas
  2. Apenas I e II
  3. Nenhuma
  4. Apenas I e III
  5. Apenas II e III

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que dizer quais dessas afirmações são verdadeiras, então vamos analisar cada uma com calma em cada passo. Bora lá!

Passo 2

A primeira afirmação diz: f x = sin ⁡ x + tan ⁡ x é uma função ímpar.

Para podemos avaliar, temos que lembrar que uma função ímpar é aquela que

f x = - f - x

De cara, temos que o seno é uma função impar, pois

sin ⁡ x = - sin ⁡ - x

E a função tangente também possui uma simetria de função impar, ou seja,

tan ⁡ x = - tan ⁡ - x

Caso você queira, conferir pode pegar valores de seno e tangente que você conhece e verificar que essas relação é verdadeira, beleza?

Mas, concluindo aqui, temos que a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

A segunda afirmação diz que: g x = arcsin ⁡ x é injetora.

Para que não lembra, uma função injetora é aquela que:

Para

x 1 ≠ x 2

Temos

f x 1 ≠ f x 2

Ou seja, para cada x temos um diferente f x .

Então, pessoal, a função arcosseno nos fornece o ângulo cujo o seno é x . E sabemos que a função seno periódica, cujo y varia de - 1 a 1 , ou seja, não é injetora.

Mas, como eu falei a função arcosseno é diferente, ela terá x variando de - 1 a 1 , mas sempre um y (podemos pensar como um ângulo) diferente para cada valor nesse intervalo, ou seja, ela é injetora.

Logo a afirmação II também é verdadeira.

Passo 4

Por fim, temos que: sin ⁡ x - π 2 = - cos ⁡ x para todo x   ϵ   R .

Para analisar essa afirmativa, temos que lembrar de como é a soma/subtração de senos. Ela é assim:

sin ⁡ a - b = sin ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ b cos ⁡ a

Aplicando para sin ⁡ x - π 2 , ficamos com

sin ⁡ x - π 2 = sin ⁡ x cos ⁡ - π 2 - sin ⁡ - π 2 cos ⁡ x

Como,

cos ⁡ - π 2 = 0

E

sin ⁡ - π 2 = 1

Temos que

sin ⁡ x - π 2 = sin ⁡ x 0 - 1 cos ⁡ x = - cos ⁡ x

Opaaa, a afirmação III é verdadeira.

Logo todas as afirmações são verdadeiras.

Resposta

a

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