Exercícios Resolvidos de Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

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Enunciado

Determine a inversa da função

f x = x + 1 2 x + 1 ,

Identifique o domínio e imagem da inversa de f , denotada por f - 1

Passo 1

Faaaalaa, beleza?? Bora para esse probleminha envolvendo função e sua inversa. Primeiro, há uma forma de enxergamos o domínio e imagem de uma função inversa sem nem calcular ela. Bora ver isso, se temos f do tipo:

f : A   → B

Daí temos que:

f - 1 : B → A

Ou seja, basta a gente entender o domínio e imagem da função f . Para fazermos isso, podemos fazer uma análise do gráfico de f . Bora ver isso:

Ou seja, temos que:

Domínio de f = Imagem de f - 1 = R e a i s - - 1 2

Imagem de f = Domínio de f - 1 = R e a i s - 1 2

Passo 2

A gente já sabe, portanto, o domínio e imagem da inversa, bora agora calcular ela e ver se é compatível.

O processo para calcular a inversa é a seguinte, vamos colocar y aonde tá x na função e x   aonde tá y , ou seja:

y = f x = x + 1 2 x + 1

Pelo processo

x = y + 1 2 y + 1

Agora queremos isolar o valor de y , bora “jogar” 2 y + 1 pro outro lado:

2 x y + x = y + 1

Ou seja:

2 x y - y = 1 - x

E por isso:

y 2 x - 1 = 1 - x

Dai, temos que:

f - 1 = y = 1 - x 2 x - 1

E agora podemos ver que de fato, o domínio e imagem achados no começo estão certos, uma vez que o gráfico dessa função é:

Ou seja, é compatível com o que achamos antes. Agora que acabamos com esse problema, bora para o próximo?

Resposta

Imagem de f - 1 = R e a i s - - 1 2

Domínio de f - 1 = R e a i s - 1 2

f - 1 = 1 - x 2 x - 1

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