Exercícios Resolvidos de Introdução à Lei de Gauss

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Enunciado

Determine o campo elétrico devido a uma fina casca esférica carregada de raio R e carga total Q .

Passo 1

Nesse caso, a gente tem uma configuração de cargas que só depende da distância até o centro da casca esférica, então a gente tem aqui uma simetria esférica certo?

Isso quer dizer que E → deve ser radial e seu módulo só deve depender da distância r até o centro.

Então vamos escolher pra esse caso uma superfície gaussiana esférica S concêntrica à casca esférica e com um raio arbitrário r beleza? Vamos ter algo parecido com essa imagem

Agora temos que usar a Lei de Gauss e avaliar os casos em que r < R e r > R

Passo 2

A Lei de Gauss é expressada assim

ϕ = ∮ S E n ⅆ A = Q i n t ε 0

Sabendo que o valor de E n é o mesmo em qualquer ponto da superfície gaussiana e que a área da superfície de uma casca esférica é 4 π r ² , podemos escrever que

E n 4 π r ² = Q i n t ε 0

Devido à simetria, E n = E r , então

E r = Q i n t 4 π r ² ε 0

Agora basta avaliar essa expressão quando r < R e quando r > R

Passo 3

Quando r < R , a carga dentro da superfície gaussiana vai ser 0, então

E r = 0 4 π r ² ε 0 = 0

Para r > R , a superfície gaussiana engloba toda a casca esférica, então a carga dentro dela vai ser o próprio Q

E r = Q 4 π r ² ε 0

Resposta

E → = E r r ^ onde E r = 0 ,   r < R Q 4 π r ² ε 0 ,   r > R

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