Exercícios Resolvidos de Introdução à Lei de Gauss

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Enunciado

Uma esfera isolante de raio R possui uma densidade volumétrica de carga dada por ρ r = ρ 0 r 2 / R 2 , onde ρ 0 é uma constante a ser determinada e r é a distância ao centro da esfera. Sabendo que a carga total da esfera vale Q , podemos afirmar que o valor de ρ 0 e o vetor campo elétrico E → produzido por ela a uma distância r > R são, respectivamente:

Escolha uma:

  1. ρ 0 = 3 Q 2 π R 3 ,   E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^
  2. ρ 0 = 5 Q 4 π R 3 ,   E → = Q r 3 4 π ϵ 0 R 5 r ^
  3. ρ 0 = Q π R 3 ,   E → = Q r 2 4 π ϵ 0 R 4 r ^
  4. ρ 0 = 5 Q 4 π R 3 ,   E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^
  5. ρ 0 = Q π R 3 ,   E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^
  6. ρ 0 = 3 Q 2 π R 3 ,   E → = Q r 4 4 π ϵ 0 R 6 r ^

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa parece complicada, mas vou te ajudar!

A carga total contida em um volume V é:

Q = ρ V

Mas aqui temos que a densidade volumétrica não é constante e varia com a distância radial, então precisamos integrar esse bichinho.

O diferencial de volume de uma esfera é d V = 4 π r 2   d r , assim o diferencial de carga é:

d Q = ρ 0 r 2 R 2 4 π r 2   d r

E integrando em relação à r , teremos a carga total. A carga está dentro dessa esfera de raio R , então os limites para r vão de 0 até R . Daí a integral fica assim ó:

Q = ∫ 0 R ρ 0 r 2 R 2 4 π r 2   d r = 4 π ρ 0 R 2 ∫ 0 R r 4 d r = 4 π ρ 0 R 2 r 5 5 0 R = 4 π ρ 0 R 2 . R 5 5

Q = 4 π ρ 0 5 R 3

E dessa expressão podemos isolar ρ 0 :

5 Q = 4 π ρ 0 R 3

ρ 0 = 5 Q 4 π R 3

Beleza até aqui?

Passo 2

O campo elétrico em uma região r > R fora da esfera se comporta como um campo de uma partícula puntiforme de carga Q , então o campo é:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^

Analisando as alternativas, a correta é a (d).

Resposta

( d )

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