Enunciado

Uma esfera sólida isolante carregada de raio R é envolvida por uma casca esférica condutora de raio interno 3 2 R e raio externo 2 R e carga líquida nula. As cargas da esfera isolante estão distribuídas de forma esfericamente simétrica com densidade volumétrica de cargas ρ ( r ) , onde r é à distância com relação ao centro da esfera.

a) Se considerarmos que ρ ( r )   = ρ 0 1 - α r R , qual deve ser o valor de α para que o campo elétrico E a uma distância r   =   4 R / 3 do centro da configuração seja nulo? Em outras palavras, E(4R/3) = 0.

Para os próximos itens considere que ρ ( r )   =   ρ 0 . Utilizando a Lei de Gauss, encontre a magnitude do campo elétrico E(r) nas regiões:

b) r

c) R

d)3R/2

e)2R

Considere, apenas para o item (f), que R   =   1,00   c m e   ρ ( r )   =   ρ 0   =   12,00   n C / m 3 .

f) Calcule a densidade superficial de carga σ da superfície externa da casca condutora.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Letra (a):

Vou usar a lei de Gauss, para isso vou começar calculando a carga interna da esfera de raio R com densidade ρ ( r )   = ρ 0 1 - α r R .

A carga vai ser o produto da densidade pelo diferencial de volume, e como a densidade só depende do raio temos d V = 4 π r 2 d r , daí juntando tudo teremos o seguinte:

Q = ∫ 0 R ρ 0 1 - α r R . 4 π r 2 d r

O limite aqui é de 0 até R pois é onde a carga está, certo? Quando a gente for usar a lei de Gauss, a superfície gaussiana vai ter raio igual a 4 / 3 R , ok?

Agora ficamos com essas duas integrais:

Q = ∫ 0 R 4 π ρ 0 r 2 d r - ∫ 0 R 4 π ρ 0 α R r 3 d r  

Q = 4 π ρ 0 R 3 3 - α R 4 4 R ρ 0 4 π

Q = 4 π ρ 0 R 3 3 - α R 3 π ρ 0

Beleza até aqui?

Passo 2

A superfície gaussiana vai ter raio r = 4 3 R , e a carga interna é Q que acabamos de calcular, então temos:

4 π r 2 E 1 = 1 ϵ 0 Q

4 π 4 R 3 2 E 1 = 1 ϵ 0 4 π ρ 0 R 3 3 - α R 3 π ρ 0

E 1 = 9 64 π ϵ 0 R 2 4 π ρ 0 R 3 3 - α R 3 π ρ 0

E queremos que esse campo seja zero, então:

E 1 = 0

4 π ρ 0 R 3 3 - α R 3 π ρ 0 = 0

α R 3 π ρ 0 = 4 π ρ 0 R 3 3

Simplificando tudo que podemos teremos o valor de α :

α = 4 3

Passo 3

Letra (b):

Vou usar sempre a lei de Gauss, então o procedimento vai ser o mesmo: calcular primeiro a carga interna e depois substituir na lei propriamente dita. Borá fazer?

A carga para r < R é:

Q = ρ 0 V = ρ 0 4 3 π r 3

E a uma posição r do centro a superfície gaussiana é 4 π r 2 e usando a lei de Gauss temos:

4 π r 2 E = 1 ϵ 0 Q = 1 ϵ 0 ρ 0 4 3 π r 3

E = 1 4 π r 2 1 ϵ 0 ρ 0 4 3 π r 3

E podemos simplificar essa expressão:

E = ρ 0 3 ϵ 0 r   ( r < R )

Passo 4

Letra (c):

Agora a carga interna vai ser completa, pois a distância r é maior que R :

Q = ρ 0 4 3 π R 3

E o campo vai ser:

4 π r 2 E = 1 ϵ 0 ρ 0 4 3 π R 3

E = ρ 0 R 3 3 ϵ 0 1 r 2   (   R   <   r   <   3 R / 2 )

Passo 5

Letra (d):

Dentro de um condutor o campo é nulo! Sendo assim E = 0 .

Passo 6

Letra (e): E agora para 2 R   <   r   o campo é:

E = ρ 0 R 3 3 ϵ 0 1 r 2

Já que na casca externa não temos carga líquida.

Passo 7

Letra (f):

A densidade de carga superficial é carga dividido por área, então temos:

σ = 4 3 π R 3 ρ 0 4 π R 2 = R ρ 0 3

Usando os valores dados de raio e densidade de cargas teremos o seguinte:

σ = 1 × 10 - 3 12 3 = 0,004 ( n C / m 2 )

Espero ter ajudado!

Resposta

a ) α = 4 3

b ) E = ρ 0 3 ϵ 0 r   ( r < R )

c ) E = ρ 0 R 3 3 ϵ 0 1 r 2   (   R   <   r   <   3 R / 2 )

d )   E = 0

e ) E = ρ 0 R 3 3 ϵ 0 1 r 2

f ) 0,004 ( n C / m 2 )

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