Exercícios Resolvidos de Introdução à Lei de Gauss

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Enunciado

Uma esfera dielétrica sólida com raio R = 4 c m tem carga 9,3 m C uniformemente distribuída em seu volume. Uma casca esférica condutora fina, eletrizada com carga - 9,1 m C envolve a esfera. (Considere as distâncias medidas com referência ao centro da esfera sólida). Nessas condições, quanto vale ( e m   10 9 V / m ) , a soma das intensidades dos campos gerados à distância 1,8 c m e à distância 7 c m ? Se necessário use ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12 C 2 / N m 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Vamos primeiro analisar a região no interior da esfera, com r 1 = 1,8 < R . Nessa região temos que apenas uma parcela da carga total vai influenciar no campo elétrico. Então é por aqui que vou começar:

q 1 r 1 = Q 1 R

Então a parcela de carga que vamos usar na lei de Gauss é:

q 1 = Q 1 r 1 R

Na Lei de Gauss o campo elétrico é:

E . A = q i n t ϵ 0

E = q 1 4 π R 2 ϵ 0 = 1 4 π ϵ 0 1 R 2 .   Q 1 r 1 R = Q 1 r 1 4 π   ϵ 0 R 3

Os dados são:

R = 4 × 10 - 2 m

r 1 = 1,8 × 10 - 2 m

Q 1 = 9,3 × 10 - 3 C

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12

Agora é só substituir:

E = Q 1 r 1 4 π   ϵ 0 R 3 = 9,3 × 10 - 3 . 1,8 × 10 - 2 4 π 8,85 × 10 - 12 . 4 × 10 - 2 3 = + 23,51 × 10 9 V / m

Passo 2

Quando estamos na região r 2 = 7 c m > R o campo elétrico é igual a termos uma esfera carregada com essas duas cargas no seu centro. O campo elétrico é:

E = 1 4 π ϵ 0 Q 1 + Q 2 R 2  

Os dados são:

R = 4 × 10 - 2 m

r 2 = 7 × 10 - 2 m

Q 1 = 9,3 × 10 - 3 C

Q 2 = - 9,1 × 10 - 3 C

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12

E agora precisamos substituir na fórmula:

E = 1 4 π ϵ 0 Q 1 + Q 2 R 2 = 9,3 × 10 - 3 + - 9,1 × 10 - 3 4 π 8,85 × 10 - 12 . 7 × 10 - 2 2

E = 0 , 36 × 10 9 V / m

Passo 3

E a soma das intensidades desses campos é:

E = 23,51 × 10 9 + 0,2 × 10 9 = 23,8 7 × 10 9

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

23,8 7 × 10 9

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