Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

Ver Teoria

Enunciado

Um atleta consegue correr em relação ao solo com velocidade V h o m e m , s o l o = V h s e nadar com velocidade V h o m e m , á g u a = V h a em relação à água. Ele quer atravessar um rio de corrente homogênea, cuja correnteza possui velocidade em relação às margens V á g u a , s o l o = V a s , saindo do ponto A e chegando ao ponto C, diretamente do outro lado da margem, como na figura. Como a temperatura da água está muito baixa, ele quer atravessar o rio, as águas o deslocam de seu objetivo, fazendo-o chegar do outro lado no ponto B. Considere as velocidades constantes e que V h s > V h a > V a s .

3) qual foi a velocidade vetorial média do atleta no percurso (módulo, direção e sentido)? Considerando a distância total percorrida, qual foi sua velocidade escalar média?

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema é o seguinte: um atleta foi atravessar o rio nadando, mas a correnteza acabou levando-o para o ponto B, ao invés de ir direto para o ponto C.

No primeiro item calculamos a distância entre os pontos BC, e esse resultado vai ser muito útil aqui:

d B C = V a s d V h a

Também calculamos o tempo que ele levou para ir de A até B:

T A B = d V h a

Agora o problema nos pede para calcular a velocidade vetorial média do atleta e depois a velocidade escalar média

A velocidade vetorial v → é dada pela variação vetorial da posição Δ r → pela variação total do tempo Δ t . A variação do tempo é a soma dos tempos nos dois trechos: T A B + T B C . Já temos T A B , falta determinar T B C .

E a variação da posição? Bom, para vermos melhor, dá uma olhadinha nesse desenho aqui:

Em um primeiro momento o atleta percorreu o trajeto em azul AB, dentro da água. Depois (em vermelho) correu pela margem de B para C, seu ponto final. A soma vetorial pode ser feita unindo o início do primeiro vetor (azul) com a ponta da seta do segundo (vetor vermelho), resultando nesse vetor aqui em amarelo:

E esse vetor justamente é o vetor de módulo d , vertical para cima! Assim Δ r → é:

Δ r → = d j ^

Beleza? Agora nosso próximo passo é determinar o tempo total, e por fim achar a velocidade vetorial média!

A velocidade escalar média envolve a distância total ( d A B + d B C ) pelo tempo total (adoro quando se recicla resultado kkk). Então depois de calcular a velocidade vetorial média, vamos calcular a velocidade escalar média.

Bora lá?

Passo 2

O tempo total é a soma dos temos nos trechos AB e BC. No treco AB o tempo gasto foi

T A B = d V h a

Precisamos achar o tempo T B C . Como a velocidade é constante, esse tempo será

V h s = d B C T B C ∴ T B C = d B C V h s

Lembrando que o atleta nesse trecho corre no solo e tem velocidade V h s .

O valor da distância entre B e C foi calculada no item 2 desse problema e vale:

d B C = V a s d V h a

Assim o tempo gasto nesse trecho é:

T B C = V a s d V h a V h s = d V a s V h a V h s

Certo?

E o tempo total é a soma T A B + T B C :

T A B + T B C = d V h a + d V a s V h a V h s = d V h a 1 + V a s V h s

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com o valor do vetor deslocamento e o tempo total, agora podemos calcular o vetor velocidade média:

v → = Δ r → Δ t

Do passo 1:

Δ r → = d j ^

Do passo 2:

Δ t =   T A B + T B C = d V h a 1 + V a s V h s

Agora é só substituir:

v → = d d V h a 1 + V a s V h s j ^ = 1 1 V h a 1 + V a s V h s j ^

v → = V h a V h a + V a s V h s j ^ = V h a V h s V h a + V a s j ^

v → = V h a V h s V h a + V a s j ^

Certo?

E a velocidade escalar média?

Passo 4

Como comentei lá no passo 1, a velocidade escalar média é a razão entre a distância total percorrida pelo tempo total transcorrido:

v = d T t T

Então vai ser a soma dos deslocamentos d A B + d B C em cima, e a soma dos tempos T A B + T B C embaixo. A soma dos tempos nós já temos, e a distância d B C também ( d B C = V a s d V h a ). Só nos resta determinar d A B . E aqui entra nosso bom e velho Pitágoras:

Assim a distância d A B é:

d A B = d 2 + d B C 2 = d 2 + V a s d V h a 2

E a distância total:

d T = V a s d V h a + d 2 + V a s d V h a 2

Tudo ok até aqui?

Com o tempo total e a distância total, podemos (até que enfim) calcular a velocidade escalar média:

v = d T t T

A distância total:

d T = V a s d V h a + d 2 + V a s d V h a 2

Do passo 3 temos o tempo total:

t T = d V h a 1 + V a s V h s

A velocidade escalar:

v = V a s d V h a + d 2 + V a s d V h a 2 d V h a 1 + V a s V h s  

Podemos ainda simplificar d em todos os termos (até dentro da raiz, pois temos d 2 nos dois termos ali dentro) e só:

v = V a s V h a + 1 + V a s V h a 2 1 V h a 1 + V a s V h s

O restante fica assim mesmo, não temos uma graaande simplificação.

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

v → = V h a V h s V h a + V a s j ^

v = V a s V h a + 1 + V a s V h a 2 1 V h a 1 + V a s V h s

Exercícios de Livros Relacionados

Um avião pequeno atinge uma velocidade do ar de 500k m / h . O piloto pretende chegar a um ponto 800k m ao norte, mas descobre que deve direcionar o avião 20,0 ° a leste do norte para atingir o destin
A ‘esteira rolante horizontal’ do terminal de um aeroporto se move a 1,0m/s e tem 35,0m de comprimento. Se uma mulher pisa em uma das extremidades e caminha a 1,5m/s em relação à plataforma móvel, qua
Dois píeres estão localizados em um rio: o píer B está situado a 1500 m de A corrente abaixo (Figura 3.35). Dois amigos devem fazer um percurso do píer A ao píer B e depois voltar. Umdeles vai de barc
Voos longos em latitudes médias no Hemisfério Norte encontram a chamada corrente de jato, um fluxo de ar para leste que pode afetar a velocidade do avião em relação à superfície da Terra. Se o piloto
Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade 1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a uma velocidade de 2,5 km/h em relação à água. a) Qual é o tempo mínimo que leva para at