Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

Parte II:

Uma partícula P se move com velocidade escalar constante sobre uma circunferência de raio 3,00   m (figura abaixo) e completa uma volta a cada 20,0   s . A partícula passa pelo ponto O no instante t 0 = 0,00   s . Nesse mesmo instante um atleta A passa pelo mesmo ponto com velocidade constante, correndo ao longo do eixo x . O ponto O designa a origem de um referencial ( O , x , y ) em repouso em relação ao solo. Expresse os resultados em função dos vetores unitários.

(a ) Encontre a posição da partícula em relação a O , nos instantes t 5 = 5,00   s e t 10 = 10,0   s .

(b ) Obtenha o deslocamento da partícula entre t 5 𝑒 t 10 .

(c ) Calcule a velocidade da partícula no instante t 5 .

(d ) Determine a velocidade da partícula em relação ao atleta no instante t 5 . Admita que o atleta A possui a mesma velocidade da partícula P na origem do referencial O .

Passo 1

Temos a partícula P realizando uma trajetória circular e com velocidade escalar constante, logo, estamos tratando de um movimento circular uniforme (MUC). Além disso, ela completa cada volta em 20,0   s , então seu período T é de 20,0   s .

Vamos resolver cada item, então. Chega mais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a ) Encontre a posição da partícula em relação a O , nos instantes t 5 = 5,00   s e t 10 = 10,0   s .

Primeiro, vamos pensar no período da partícula. Se ela completa uma volta a cada 20,0   s , em t 5 = 5,00   s ela vai ter completado um quarto de volta e em t 10 = 10,0   s , metade de uma volta.

Então a nossa partícula vai estar nas seguintes posições:

Se o raio ( r ) mede 3,00   m , então podemos escrever a posição de cada partícula com suas coordenadas em x e y :

r P → t 5 = r , r = 3,00   ,   3,00   m

r P → t 10 = 0,2 r = 0   ,   6,00   m

Ou então:

r P → t 5 = 3,00   i ^ + 3,00   j ^   m  

r P → t 10 = 6,00   j ^   m

Onde, esses seriam os vetores posição r P → t 5 e r P → t 10 :

Passo 3

(b ) Obtenha o deslocamento da partícula entre t 5 𝑒 t 10 .

O deslocamento será o vetor ∆ r P → :

Para obtermos o delocamento, precisamos apenas subtrair o vetor da posição final menos o da posição inicial:

∆ r P → = r P → t 10 - r P → t 5

∆ r P → = 6,00   j ^ - 3,00   i ^ + 3,00   j ^

∆ r P → = - 3,00   i ^ + 3,00   j ^ m

Passo 4

(c ) Calcule a velocidade da partícula no instante t 5 .

A velocidade da partícula ao longo do trajeto é sempre tangencial ao círculo. Em t 5 , a partícula está em um quarto de volta da circunferência, então, sua velocidade estará assim:

Logo, a velocidade em t 5 está na vertical e aponta para cima (componente j ^ ).

Para calcular o módulo da velocidade, podemos usar a fórmula de velocidade média, já que a partícula anda sempre com a mesma velocidade:

v m = ∆ S ∆ t

Em um período T de 20,0   s , a partícula percorre o comprimento da circunferência ( 2 π r ) :

v m = 2 π r T = 2 π 3,00 20,0 = 0,942   m / s

Assim, temos que:

v 5 → = 0,942   j ^   m / s

Passo 5

(d ) Determine a velocidade da partícula em relação ao atleta no instante t 5 . Admita que o atleta A possui a mesma velocidade da partícula P na origem do referencial O .

Qual a ideia aqui?

O atleta se movimenta em relação à origem, certo? Certo!

Mas se considerarmos o referencial no atleta, temos que a origem se movimenta em relação ao atleta, certo? Certo!

O mesmo acontece entre a partícula e a origem. Mas precisamos achar a velocidade da partícula em relação ao atleta. Então, é como se a gente deixasse o atleta fixo, pegasse a sua velocidade na direção contrária e somasse com a velocidade da partícula. Desse forma eles terão a mesma velocidade de afastamento/aproximação entre eles.

Logo, a velocidade de P com relação a A ( v P A → ), no instante t 5 , vai ser a velocidade de P com relação à origem ( v P → ) menos a velocidade de A com relação a origem( v A → ):

v P A → = v P → - v A →

Sabemos que o módulo da velocidade do atleta ( v A → ) é igual ao da partícula, porém ele se mantém sempre na direção do eixo x , logo:

v A → = 0,942   i ^   m / s

Agora, podemos substituir v P → e v A → , no instante t 5 :

v P A → = 0,942   j ^ - 0,942   i ^  

v P A → = - 0,942   i ^ + 0,942   j ^   m / s

Resposta

(a)

r P → t 5 = 3,00   i ^ + 3,00   j ^   m  

r P → t 10 = 6,00   j ^   m

(b) ∆ r P → = - 3,00   i ^ + 3,00   j ^ m

(c) v 5 → = 0,942   j ^   m / s

(d) v P A → = - 0,942   i ^ + 0,942   j ^   m / s

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