Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

Cinemática Bidimensional, Movimento Relativo e Referencial

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição x 1 t = t 2 + t + 1 , x 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 t = t + 3 e y 2 t = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção i ^ na horizontal e j ^ na vertical.

(a) Determine os vetores posição r 1 → t e r 2 → t de cada partícula e o vetor posição relativa r 12 → t .

(b) Para t = 0 ,faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r 1 → e r 2 → e do vetor posição relativa r 12 → . Determine a distância entre as partículas.

(c) Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem.

(d) Determine a velocidade relativa, v 12 → , no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem.

Passo 1

a   Os vetores r → 1 ( t ) e r → 2 ( t ) são encontrados pela própria definição, onde a posição x t corresponde a componente i ^ , e a posição y t corresponde a componente j ^ .

Para a o r → 1 ficará:

r → 1 ( t ) = x 1 t i ^ + y 1 t j ^

r → 1 t = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^

E para o r → 2 fica:

r → 2 t = x 2 t i ^ + y 2 t j ^

r → 2 t = [ 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^ ]

Já o vetor posição relativa é obtido pela fórmula do movimento relativo:

r → 12 t = r → 1 t - r → 2 t

r → 12 = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^ - 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^

Agora basta fazer a subtração de i ^ com i ^ e de j ^ com j ^ :

r → 12 ( t ) = [ - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Substituindo t = 0 para os vetores que encontramos no item anterior ficamos com:

r → 1 0 = 1 i ^ + 3 j ^   m

r → 2 0 = 3 i ^ + 2 j ^   m

r → 12 ( 0 ) = [ - 2 i ^ + 1 j ^ ]   m

Para representar estes vetores no plano cartesiano, basta indicar as coordenadas do ponto que encontramos para t = 0 e desenhar uma seta da origem até o ponto.

Agora só falta determinar a distância entre as partículas. Mas caramba, nós já temos isso! É o que posição relativa quer dizer. Posição relativa é a distância relativa às duas partículas.

Só que temos a distância relativa em forma de vetor, precisamos dar um valor para essa distância, que é justamente o comprimento desse vetor, ou seja, o módulo do vetor distância relativa. Basta utilizar a fórmula para encontrar o módulo de um vetor:

r → 12 ( 0 ) = [ - 2 i ^ + 1 j ^ ]   m

d = - 2 i ^ 2 + 1 j ^ 2

Lembrando que i ^ 2 = j ^ 2 = 1 .

d = 4 + 1

d = 5   m

Passo 3

c   Vamos pensar. No item anterior nós descobrimos que a distância entre as partículas é o vetor posição relativa. E qual a distância entre as partículas quando elas colidem? Isso mesmo, se elas estão colidindo então a distância é zero. Logo, o vetor posição relativa tem que ser igual a zero.

r → 12 t = - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ = 0

Portanto, as duas componentes do vetor têm que ser iguais a zero.

( - t 2 + 3 t - 2 ) = 0

e

( - t + 1 ) = 0

Temos que para t = 1   s e t = 2   s , a primeira equação é satisfeita. No entanto, apenas para t = 1   s que a segunda equação é satisfeita. Daí, apenas para t = 1   s há colisão.

Passo 4

d Lembrando que a velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição. Basta derivarmos o vetor posição relativa, desta maneira:

v → 12 t = d d t r → 12 t

Para derivar um vetor, basta derivar apenas as componentes:

v → 12 t = d d t x 12   i ^ + d d t y 12   j ^

Que resulta em:

v → 12 t = d d t - t 2 + 3 t - 2 i ^ + d d t - t + 1 j ^

v → 12 t = - 2 t + 3 i ^ - 1   j ^

Agora substituindo o instante que achamos para a colisão no item anterior, t = 1   s , temos:

v → 12 1 = [ + 1   i ^ - 1   j ^ ]   m / s

Resposta

a   r → 1 t = t 2 + t + 1 i ^ + t + 3 j ^ ;

r → 2 t = [ 2 t 2 - 2 t + 3 i ^ + 2 t + 2 j ^ ] ;

r → 12 ( t ) = [ - t 2 + 3 t - 2 i ^ + - t + 1 j ^ ]

b   d = 5   m

c t = 1   s

d   v → 12 1 = [ 1   i ^ - 1   j ^ ]   m / s

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