Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

USP, Física 1, P1 - 2014, Questão 1

Duas partículas ( 1 e 2 ) se movem ao longo do eixo x e y , respectivamente, com velocidades constantes v 1 = 2 x ^   c m / s e v 2 = 3 y ^   c m / s . Em t = 0   s elas estão nas posições: ( x 1 , y 1 ) = ( - 3,0 )   c m , ( x 2 , y 2 ) = ( 0 , - 3 )   c m .

a ) Esboce a situação descrita acima no plano x y no instante t = 0   s .

b ) Escreva algebricamente (usando versores indicados no enunciado) o vetor posição de cada uma das partículas.

c ) Determine o vetor que representa a posição relativa da partícula 2 com respeito à partícula 1 , como função do tempo.

d ) Determine o vetor velocidade relativa entre essas duas partículas.

Passo 1

a )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Lembrando que a velocidade nada mais é que a taxa de variação do espaço pelo tempo, ou seja, a derivada do espaço em relação ao tempo. Bem, nesse caso, vale a operação inversa, ou seja, o espaço é a integral da velocidade. Portanto:

  v 1 = 2 x ^

r 1 t = 2 x ^   d t

Bem, a velocidade é constante, essa integral pode ser resolvida facilmente ficando com:

r 1 t = 2 t + C x ^

Onde C é uma constante real, para descobrir seu valor, basta substituir o valor inicial de r 1 :

r 1 0 = 2   .   0 + C x ^ = - 3 x ^ + 0 y ^

C = - 3   c m

Portanto:

r 1 t = 2 t - 3 x ^   c m

Aplicando o mesmo método para r 2 , temos:

v 2 = 3 y ^

r 2 t = 3 y ^   d t

A velocidade aqui também é constante, resolvemos a integral pelo mesmo método:

r 2 t = 3 t + C 2 y ^

Onde C 2 é uma constante real que podemos descobrir utilizando o valor inicial:

r 2 0 = 3   .   0 + C 2 y ^ = 0 x ^ - 3 y ^

C 2 = - 3   c m

Logo:

r 2 t = 3 t - 3 y ^   c m

Passo 3

c )

O vetor velocidade relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 é encontrado fazendo v 2 - v 1 . Analogamente, o vetor posição relativa da partícula 2 em relação a partícula 1 pode ser encontrado fazendo r 2 - r 1 , Logo:

r r e l = r 2 - r 1

r r e l = 3 t - 3 y ^ - 2 t - 3 x ^

r r e l = - 2 t + 3 x ^ + 3 t - 3 y ^   c m

Passo 4

d )

Como já foi dito no item anterior, basta fazer v 2 - v 1 :

v r e l = v 2 - v 1

v r e l = 3 y ^ - 2 x ^

v r e l = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

Resposta

a )

b )   r 1 t = 2 t - 3 x ^   c m

r 2 t = 3 t - 3 y ^   c m

c )   r r e l = - 2 t + 3 x ^ + 3 t - 3 y ^   c m

d )   v r e l = - 2 x ^ + 3 y ^   c m / s

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