Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

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Enunciado

A posição de um objeto O medida por um observador A , relativa a um sistema de coordenadas, é dada por r O A → = 6 t 2 - 4 t i → + - 3 t 2 j → + 3 k →   ( m ,   s ) . A posição deste mesmo objeto medida por um observador B , relativa a outro sistema de coordenadas é dada por r O B → = 6 t 2 + 3 t i → + - 3 t 2 + 2 j → + 3 k →   ( m ,   s ) .

a) Mostre que a aceleração do objeto O é a mesma medida por ambos observadores.

b) Determine os vetores posição e velocidade medidos pelo observador B , relativos ao observador A .

Passo 1

(a)

A aceleração nada mais é que a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição. Então para encontrar a aceleração da partícula, basta derivar o vetor posição duas vezes:

d r O A → d t = d d t 6 t 2 - 4 t i → + - 3 t 2 j → + 3 k →

d r O A → d t = 12 t - 4 i → + - 6 t j →

a O A → = d 2 r O A → d t 2 = 12 i → + - 6 j →   m / s 2

Agora calculando a outra partícula.

d r O B → d t = d d t 6 t 2 + 3 t i → + - 3 t 2 + 2 j → + 3 k →

d r O B → d t = 12 t + 3 i → + - 6 t j →

a O B →   = d 2 r O B → d t 2 = 12 i → + - 6 j →   m / s 2

Ou seja, provamos que:

a O A → = a O B →

Passo 2

(b)

Basta utilizar a fórmula da velocidade relativa só que para posição relativa, que é a mesma fórmula. Logo, vetor posição relativa, r A B → , será:

r A B → = r O B → - r O A →

r A B → = 6 t 2 + 3 t i → + - 3 t 2 + 2 j → + 3 k → - 6 t 2 - 4 t i → + - 3 t 2 j → + 3 k →

r A B → = 7 t i → + 2 j →   ( m ,   s )

Logo, o vetor velocidade será:

v A B → = d r A B d t = 7 i →   m / s

Resposta

(a)   a O A → = a O B → = 12 i → + - 6 j →   m / s 2

(b) r A B → = 7 t i → + 2 j →   m ,   s ; v A B → = 7 i →   m / s

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