Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 90-82

Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme de 1,1   m / s através de uma floresta, na direção oeste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0   m / s em relação à água. Existe uma outra clareira na margem norte, 82   m   rio acima a partir de um ponto da margem sul, exatamente em frente à clareira. a   Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? b   Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira?

Passo 1

Primeiro vamos desenhar o que o problema que temos, para entendermos mlhor o que está acontecendo. Esse seria um esboço com o sdados que ele no deu.

Vamos resolver essa questão usando o vetor posição relativa. Cosiderando que o barquinho está na origem do nosso eixo no porto sul.

Vamos enterder primeiro o que faremos. A linha tracejada significa a linha reta que o barquinho deve andar para chegar do porto sul até o porto norte.

A seta azul escuro simboliza r A o deslocamento da água em relação ao porto sul. A seta vermelha o deslocamento do barco em relação ao porto sul r B e a seta amarela o deslocamento do barco em relação a água r B A , ou seja, a pra onde o barco deve ser apontado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos então r 0 B = 0 i ^ + 0 j ^ e quer chegar na posição r f B = 82 i ^ + 200 j ^ . Ambas posições são em relação a origem no porto sul (referêncial parado). Logo o deslocamento do barquinho seria

r B = 82 i ^ + 200 j ^

Passo 3

Sabemos que a água desloca-se com velocida v A = - 1,1 i ^ + 0 j ^ , pela equação da posição descobrimos

r A = v A . t

r A = - 1,1 . t . i ^ + 0 j ^

Passo 4

Vamos então calcular o vetor posição relativa do barco em relação a água pela equação

r B A = r B - r A

r B A = 82 i ^ + 200 j ^ - - 1,1 t . i ^

r B A = 82 + 1,1 t . i ^ + 200 j ^

Terminamos de descobrir a equação para o vetor posição do barco em relação a água, porém ela está em função do tempo e por isso vamos primeiro descobrir o valor de t .

Passo 5

Como o problema também nos fornecer o módulo da velocidade do barco em relação a água | v B A | = 4   m / s .

Pela equação da posição de um movimento uniforme temos:

r B A = v B A . t

Como temos o módulo do vetor velocidade e pelo tempo ser sempre positivo podemos dizer que

| r B A | = | v B A | . t

82 + 1,1 t 2 + 200 2 = 4 . t

Tirando a raíz

82 + 1,1 t 2 + 200 2 = 4 . t 2

40000 + 6724 + 180,4 . t + 1,21 . t 2 = 16 . t 2

14,8 . t 2 - 180,4 . t - 46724 = 0

t = 180,4 + 180,4 2 - 4   .   14,8   .   - 46724 2.14,8  

t = 62,6   s

Passo 6

Substituindo t na equação do vetor posição r B A temos:

r B A = 82 + 1,1 . ( 62,6 ) . i ^ + 200 j ^

r B A = 150,86 . i ^ + 200 j ^

Com esse vetor já temos representado a direção em que o barco deve ser apontado, porém se quisermos completar a resposta podemos dar o ângulo que o barco deve ser apontado em relação a margem sul do rio.

Como r A é horizontal (mesma direção da margem), temos que o ângulo entre os dois vetores é igual ao ângulo de r B A com a margem sul.

Já vimos uma fórmula para calcular ângulo entre vetores, que é

θ = a r c c o s r A . r B A r A . r B A

θ = arccos 1,1 . t . 82 + 1,1 . t 1,1 t . 4 . t

θ = arccos 10388,2196 17242,544

θ = 53 °

Resposta

a   r B A = 150,86 . i ^ + 200 j ^ ; θ = 53 °

b   t = 62,6   s

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