Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Passo 1

Beleza! Ele disse que os catetos estão apoiados nos eixos ordenados, e a hipotenusa está sobre uma reta que contém o ponto ( 2,3 ) . Para essa reta podemos escrever:

y = a x + b

3 = 2 a + b

b = 3 - 2 a

a = 3 - b 2

Passo 2

Vamos agora ver a interseção dessa reta com os eixos. Na interseção com o eixo y, x = 0 . Então, o lado coincidente com o eixo y (vou chamar de l 1 ) será:

y = a x + b

l 1 = b

Porque x = 0 .

Para o lado coincidente com o eixo x (vou chamar de l 2 ) teremos y = 0 , na interseção da reta com o eixo x. Então:

y = a x + b

0 = a l 2 + b

l 2 = - b / a

Passo 3

Show! Agora que temos os lados podemos calcular a área:

A = l 1 l 2 2

A = b - b / a 2

A = - b 2 2 a

Vamos trocar a por a = 3 - b 2 :

A = - b 2 3 - b

Passo 4

Vamos derivar pra achar o ponto de mínimo:

A ' = - 2 b 3 - b - b 2 3 - b 2

A ' = - 6 b + 2 b 2 - b 2 3 - b 2

A ' = b ( b - 6 ) 3 - b 2

A ' = 0

b = 6   o u   b = 0

Como para b = 0 teremos A = 0 , esse valor não nos interressa.

Então, b = 6 e um dos vértices do triângulo é ( 0,6 ) . Além disso:

l 1 = 6

Achando o outro vértice, vamos calcular x quando y = 0 :

y = a x + b

a = 3 - b 2

a = - 3 / 2

y = - 3 x 2 + 6

0 = - 3 l 2 2 + 6

l 2 = 4

E o outro vértice do triângulo é ( 0,4 ) .

Resposta

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