Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Enunciado

Uma página deve conter 60   c m 2 de área impressa. As margens superior e inferior devem ter 3   c m , enquanto as laterais têm 2   c m cada. Encontre as dimensões da página que consomem a menor quantidade de papel.

Passo 1

Observe a figura abaixo, que representa a situação descrita no enunciado.

Chamaremos a altura da página de y e o comprimento da página de x . Queremos as dimensões da página que consome menos papel e tem área impressa de 60   c m ² . A área impressa da página pode ser calculada pela fórmula

A i m p r e s s a = x - 2 - 2 y - 3 - 3 = ( x - 4 ) ( y - 6 )

Nesse caso, sabemos que

A i m p r e s s a = ( x - 4 ) ( y - 6 ) = 60 c m ²

Mas o que o exercício pede é a área total da página, isto é, contando com os espaços das margens. Essa área pode ser dada por

A t o t a l   = x y

É essa que precisamos otimizar. Bora começar!

Passo 2

Precisamos que A t o t a l   esteja em função de apenas uma variável para podermos otimizar. Então vamos isolar uma das variáveis em A i m p r e s s a e depois substituir em A t o t a l . Vou isolar o x , mas tanto faz isolar x ou y , você pode escolher.

( x - 4 ) ( y - 6 ) = 60

x y - 6 x - 4 y + 24 = 60

x y - 6 x = 60 - 24 + 4 y

x ( y - 6 ) = 36 + 4 y

x = 4 y + 36 y - 6

Passo 3

Agora dá pra substituir x na equação da área total.

A t o t a l   = x y = 4 y + 36 y - 6 y

Passo 4

E finalmente vamos derivar A t o t a l   para encontrar seu ponto de mínimo.

A ' t o t a l   = 4 y - 6 - ( 4 y + 36 ) ( y - 6 ) ² . y + 4 y + 36 y - 6

A ' t o t a l   = - 60 y ( y - 6 ) ² + 4 y + 36 y - 6

A ' t o t a l   = - 60 y + ( 4 y + 36 ) ( y - 6 ) ( y - 6 ) ²

A ' t o t a l   = - 60 y + 4 y 2 - 24 y + 36 y - 216 ( y - 6 ) ²

A ' t o t a l   = 4 y 2 - 48 y - 216 ( y - 6 ) ²

A ' t o t a l   = 4 ( y 2 - 12 y - 54 ) ( y - 6 ) ²

Passo 5

Tendo a derivada, podemos encontrar os pontos críticos, igualando-a a zero.

A ' t o t a l   = 0

4 ( y 2 - 12 y - 54 ) ( y - 6 ) ² = 0

4 ( y 2 - 12 y - 54 ) = 0

y 2 - 12 y - 54 = 0

y = 6 + 3 10

A raiz negativa foi desconsiderada pois estamos encontrando medidas, que são sempre positivas.

Só falta descobrir se o ponto encontrado é uma mínimo da função. Analisando o sinal da derivada perto de y = 6 + 3 10 temos que

  • Antes de y = 6 + 3 10 :   A ' t o t a l   < 0
  • Depois de y = 6 + 3 10 :   A ' t o t a l   > 0

Logo, de y = 6 + 3 10 é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Falta só descobrirmos o valor de x quando y = 6 + 3 10 . Sabemos que

x = 4 y + 36 y - 6

e substituindo o y encontramos

x = 4 6 + 3 10 + 36 6 + 3 10 - 6 =

24 + 12 10 + 36 3 10 =

12 10 + 60 3 10 =

4 10 + 20 10 =

40 + 20 10 10 =

x = 4 + 2 10

Resposta

x = 4 + 2 10   c m

y = 6 + 3 10   c m

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